(本小题满分12分)已知椭圆,离心率为的椭圆经过点.(1)求该椭圆的标准方程;(2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于和,是否存在常数,使得?若存在
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(本小题满分12分)已知椭圆,离心率为的椭圆经过点.(1)求该椭圆的标准方程;(2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于和,是否存在常数,使得?若存在
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)已知椭圆
,离心率为
的椭圆经过点
.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线
分别与椭圆交于
和
,是否存在常数
,使得
?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
(2)存在实数
,使得
.理由见解析
解析
试题分析:(1)由题可知
,即
,
由此得
,故椭圆方程是
,
将点
的坐标代入,得
,解得
,
故椭圆方程是
. ……4分
(2)问题等价于
,即
是否是定值问题.
椭圆的焦点坐标是
,不妨取焦点
,
当直线
的斜率存在且不等于零时,
设直线
的斜率为
,则直线
的方程是
,
代入椭圆方程并整理得
设
,则
. ……6分
根据弦长公式,
=
=
=
……8分
以
代换
,得
……9分
所以
即
……10分
当直线
的斜率不存在或等于零时,
一个是椭圆的长轴长,一个是通径长度,
此时
,即
.
综上所述,故存在实数
,使得
. ……12分
点评:圆锥曲线问题一般难度较大,要仔细分析,仔细运算,另外设直线方程时,要考虑到直线的斜率是否存在.
举一反三
设抛物线y
2
= 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线
与抛物线有公共点,则直线
的斜率的取值范围是( )
A.[-
,
]
B.[-2 , 2 ]
C.[-1 , 1 ]
D.[-4 , 4 ]
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)双曲线C与椭圆
有相同的焦点,直线y=
为
的一条渐近线.
(Ⅰ)求双曲线
的方程;
(Ⅱ)过点
(0,4)的直线
,交双曲线
于A,B两点,交x轴于
点(
点与
的顶点不重合)。当
=
,且
时,求
点的坐标
题型:不详
难度:
|
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直线
与抛物线
交于
、
两点,若
,则弦
的中点到直线
的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)已知椭圆
的中心在原点
,焦点
,
在
轴上,经过点
,
,且抛物线
的焦点为
.
(1) 求椭圆
的方程;
(2) 垂直于
的直线
与椭圆
交于
,
两点,当以
为直径的圆
与
轴相切时,求直线
的方程和圆
的方程.
题型:不详
难度:
|
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若直线
与曲线
有两个不同的交点,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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