已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点,且离心率等于,直线与椭圆C交于M,N两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)椭圆C的右焦点F
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点,且离心率等于,直线与椭圆C交于M,N两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)椭圆C的右焦点F
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难度:
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线
的焦点,且离心率等于
,直线
与椭圆C交于M,N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)椭圆C的右焦点F是否可以为
的垂心?若可以,求出直线
的方程;若不行,请说明理由.
答案
(Ⅰ)
;(Ⅱ)
。
解析
试题分析:(Ⅰ)设椭圆C的方程:
,
由题意知
,
∴ 椭圆C的方程为:
(Ⅱ)假设存在这样的直线
,使得
是
的垂心,直线BF的斜率为
,
从而直线
的斜率为
,设直线
的方程为
,
由
,设
则
,且
,
,解得
或
当
时点B为直线
与椭圆的一个交点,不合题意舍去;
当
时,直线
与椭圆相交两点,且满足题意;
综上可知直线
的方程为
时,椭圆C的右焦点F是可以为
的垂心 。
点评:本题考查了椭圆方程的求法,以及存在性问题的做法,为圆锥曲线的常规题,应当掌握。考查了学生综合分析问题的能力,知识的迁移能力以及运算能力。解题时要认真审题,仔细分析。
举一反三
抛物线
的准线方程是( ).
A.
B.
C.
D.
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已知双曲线的方程
,则离心率为
.
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在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
在极坐标系中的方程为
.若曲线
与
有两个不同的交点,则实数
的取值范围是
.
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椭圆的两个焦点是F
1
(-1, 0), F
2
(1, 0),P为椭圆上一点,且|F
1
F
2
|是|PF
1
|与|PF
2
|的等差中项,则该椭圆方程是( )
A.
B.
C.
D.
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已知
成等比数列,且抛物线
的顶点是
,
则
等于
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