已知点,,动点的轨迹曲线满足,,过点的直线交曲线于、两点.(Ⅰ)求的值,并写出曲线的方程;(Ⅱ)求△面积的最大值.

已知点,,动点的轨迹曲线满足,,过点的直线交曲线于、两点.(Ⅰ)求的值,并写出曲线的方程;(Ⅱ)求△面积的最大值.

题型:不详难度:来源:
已知点,动点的轨迹曲线满足
,过点的直线交曲线两点.
(Ⅰ)求的值,并写出曲线的方程;
(Ⅱ)求△面积的最大值.
答案
(Ⅰ).  (Ⅱ)△面积的最大值为3,此时直线的方程为.
解析
(1)先设出动点M(x,y),然后再△中利用余弦定理得,再转化成,把条件代入上式可得,即
根据椭圆定义可确定点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.进而方程易求.
(2)设直线的方程为,可避免对斜率不存在情况的讨论.再与椭圆方程联立消x后得关于y的一元二次方程,因为,把面积表示成关于m的函数然后再利用函数求最值的方法求解即可
(Ⅰ)设,在△中,
根据余弦定理得.………12分即.
.
,所以
所以.             ………………4分

因此点的轨迹是以为焦点的椭圆(点轴上也符合题意),
.
所以曲线的方程为.            ………………6分
(Ⅱ)设直线的方程为.
,消去x并整理得.    ①
显然方程①的,设,,

由韦达定理得.     …………9分
所以.    …………11分
,则.         …………12分
由于函数上是增函数.
所以,当,即时取等号.
所以,即的最大值为3.
所以△面积的最大值为3,此时直线的方程为
举一反三
圆锥曲线的准线方程是
A.B.
C.D.

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在平面直角坐标系中,设点,坐标原点在以线段为直径的圆上
(Ⅰ)求动点的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点的直线与轨迹C交于两点,点关于轴的对称点为,试判断直线是否恒过一定点,并证明你的结论.
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己知F1 F2是椭圆(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点P使得,则椭圆的离心率e的取值范围为________.
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在平面直角坐标系中,已知直线l:y=-1,定点F(0,1),过平面内动点P作PQ丄l于Q点,且
(I )求动点P的轨迹E的方程;
(II)过点P作圆的两条切线,分别交x轴于点B、C,当点P的纵坐标y0>4时,试用y0表示线段BC的长,并求ΔPBC面积的最小值.
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在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,X轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C1的参数方程为:为参数);射线C2的极坐标方程为:,且射线C2与曲线C1的交点的横坐标为
(I )求曲线C1的普通方程;
(II)设A、B为曲线C1与y轴的两个交点,M为曲线C1上不同于A、B的任意一点,若直线AM与MB分别与x轴交于P,Q两点,求证|OP|.|OQ|为定值.
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