如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,(1)求证:E、B、F、D1四点共面;(2)若点G在BC上

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,(1)求证:E、B、F、D1四点共面;(2)若点G在BC上

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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,
(1)求证:E、B、F、D1四点共面;
(2)若点G在BC上,BG=
2
3
,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥平面BCC1B1
答案
证明:(1)如图,在DD1上取点N,使DN=1,连接EN,CN,
则AE=DN=1,CF=ND1=2,
因为AEDN,ND1CF,所以四边形ADNE是平行四边形,
从而EN
.
.
AD,FD1CN,又因为AD
.
.
BC,所以EN
.
.
BC,
故四边形BCNE是平行四边形,由此推知CNBE,从而FD1BE,
所以E、B、F、D1四点共面;
(2)如图,GM⊥BF,又MB⊥BC,所以∠BGM=∠CFB,
BM=BG•tan∠BGM=BG•∠CFB=BG•
BC
CF
=
2
3
3
2
=1

因为AE
.
.
BM,所以ABME为平行四边形,从而ABEM,又AB⊥平面BCC1B1
所以EM⊥平面BCC1B1
举一反三
对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是(  )
A.m⊥n,mα,nβB.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.mn,n⊥β,m⊂αD.mn,m⊥α,n⊥β
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如图:在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2.
(I)证明:BC⊥平面AMN;
(II)求三棱锥N-AMC的体积;
(III)在线段PD上是否存在一点E,使得NM平面ACE;若存在,求出PE的长;若不存在,说明理由.
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正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过ACE的平面的位置关系是(  )
A.相交B.平行C.垂直D.线在面内
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A∈平面α.AB=5,AC=2


2
,若AB与α所成角正弦值为0.8,AC与α成450角,则BC距离的范围(  )
A.[


5


29
]
B.[


37


61
]
C.[


5


61
]
D.[


5


29
]
[


37


61
]
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已知直线l、m,平面α、β且l⊥α,m⊂β给出下列四个命题,其中正确的是______
①若αβ则l⊥m
②若α⊥β则lm
③若l⊥m则αβ
④若lm则α⊥β
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