已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1(1)求曲线C的方程.(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有
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已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1(1)求曲线C的方程.(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有
题型:不详
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已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1
(1)求曲线C的方程.
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由.
答案
解:(Ⅰ)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足:
化简得
.
(Ⅱ)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A
,B
。
设l的方程为x=ty+m,由
得
,△=16(
+m)>0,
于是
①
又
。
=
+1+
<0②
又
,于是不等式②等价于
③
由①式,不等式③等价于
④
对任意实数t,
的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于
,即
。
由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
,且m的取值范围
。
解析
(1)由题意知曲线C上的点到F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.
可确定其轨迹是抛物线,即可求出其方程为y
2
=4x.
(2)设过点M的直线方程为x=ty+m,然后与抛物线方程联立,消去x,利用韦达定理表示出
,再证明其小于零即可.
举一反三
已知
,讨论方程
所表示的圆锥曲线类型,并求其焦点坐标
题型:不详
难度:
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已知双曲线C
1
:
(a>0),抛物线C
2
的顶点在原点O,C
2
的焦点是C
1
的左焦点F
1
。
(1)求证:C
1
,C
2
总有两个不同的交点;
(2)问:是否存在过C
2
的焦点F
1
的弦AB,使ΔAOB的面积有最大值或最小值?若存在,求直线AB的方程与S
ΔAOB
的最值,若不存在,说明理由。
题型:不详
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|
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设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且
(1)当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹C的方程;
(2)设
是曲线C上的点,且
成等差数列,当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时,求点B的坐标。
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系内已知两点A(-1,0)、B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变,纵坐标扩大到原来的
倍后得到点Q(x,
y),且满足
·
=1.
(Ⅰ)求动点P所在曲线C的方程;
(Ⅱ)过点B作斜率为-
的直线l交曲线C于M、N两点,且
+
+
=
,试求△MNH的面积.
题型:不详
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|
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设点F(0,
),动圆P经过点F且和直线y=
相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
⑴求曲线W的方程;⑵过点F作相互垂直的直线
,
,分别交曲线W于A,B和C,D.①求四边形ABCD面积的最小值;②分别在A,B两点作曲线W的切线,这两条切线的交点记为Q,求证:QA⊥QB,且点Q在某一定直线上。
题型:不详
难度:
|
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