(本小题满分12分)已知椭圆:,过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A,B两点.(I)求证O到直线AB的距离为定值.(Ⅱ)求△0AB面积的最大值.

(本小题满分12分)已知椭圆:,过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A,B两点.(I)求证O到直线AB的距离为定值.(Ⅱ)求△0AB面积的最大值.

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)已知椭圆:,过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A,B两点.
(I)求证O到直线AB的距离为定值.
(Ⅱ)求△0AB面积的最大值.
答案
解:(Ⅰ) 设,若k存在,则设直线AB:y=kx+m.
,得
△ >0,…2分有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)
=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 ………4分
代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离d=.……5分
当AB的斜率不存在时,,可得,依然成立.
所以点O到直线的距离为定值.………………6分
(Ⅱ)…………8分
 =≤4
当且仅当,即时等号成立.………………10分
当斜率不存在时,经检验|AB|<2.所以.…12分
解析

举一反三
.设动点到定点的距离比它到轴的距离大.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程
(Ⅱ)设过点的直线交曲线两点,为坐标原点,求面积的最小值.
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(12分)已知三点(-2,0)、(2,0)。
(1)求以为焦点且过点的椭圆的标准方程;
(2)求以为顶点且以(1)中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程.
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,的等差中项,则动点的轨迹方程是(  )                                                                  
A.B.C.D.

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(本小题满分12分)已知定义在正实数集上的函数,其中.设两曲线有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用表示,并求的最大值;
(2)求证:).
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已知抛物线,焦点为,其准线与轴交于点;椭圆:分别以为左、右焦点,其离心率;且抛物线和椭圆的一个交点记为
(1)当时,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,若直线经过椭圆的右焦点,且与抛物线相交于两点,若弦长等于的周长,求直线的方程
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