(本小题满分12分)已知椭圆：，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A，B两点．(I)求证O到直线AB的距离为定值．(Ⅱ)求△0AB面积的最大值．

题型：不详难度：来源：

(本小题满分12分)已知椭圆：，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A，B两点．
(I)求证O到直线AB的距离为定值．
(Ⅱ)求△0AB面积的最大值．

答案

解：（Ⅰ） 设，，若k存在，则设直线AB：y＝kx＋m.
由，得
△ ＞0，…2分有OA⊥OB知x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(k x₁＋m) (k x₂＋m)
＝(1＋k²) x₁x₂＋k m(x₁＋x₂)＝0 ………4分
代入，得4 m²＝3 k²＋3原点到直线AB的距离d＝.……5分
当AB的斜率不存在时，,可得，依然成立．
所以点O到直线的距离为定值．………………6分
（Ⅱ）…………8分
＝ ＝≤4
当且仅当，即时等号成立.………………10分
当斜率不存在时，经检验|AB|＜2.所以≤.…12分

解析

略