在△ABC中,顶点A,B,动点D,E满足:①;②,③共线. (Ⅰ)求△ABC顶点C的轨迹方程;(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不

在△ABC中,顶点A,B,动点D,E满足:①;②,③共线. (Ⅰ)求△ABC顶点C的轨迹方程;(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不

题型:不详难度:来源:
在△ABC中,顶点A,B,动点D,E满足:①;②,③共线.
(Ⅰ)求△ABC顶点C的轨迹方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同交点M,N,就一定有,若存在,求该圆的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(I)设C(x,y),由得,动点的坐标为
得,动点Ey轴上,再结合共线,
得,动点E的坐标为;                 …………2分
的,
整理得,.
因为的三个顶点不共线,所以
顶点C的轨迹方程为.…………5分
(II)假设存在这样的圆,其方程为
当直线MN的斜率存在时,设其方程为,代入椭圆的方程,

MN

所以 (*)…………7分
,得0,

将式子(*)代入上式,得.…………9分
又直线MN与圆相切知:.
所以,即存在圆满足题意;
当直线MN的斜率不存在时,可得满足.
综上所述:存在圆满足题意.
解析

举一反三
(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,N为圆C:上的一动点,点D(1,0),点M是DN的中点,点P在线段CN上,且.
(Ⅰ)求动点P表示的曲线E的方程;
(Ⅱ)若曲线E与x轴的交点为,当动点P与A,B不重合时,设直线的斜率分别为,证明:为定值;
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”是方程表示双曲线的(      )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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若椭圆或双曲线上存在点,使得点到两个焦点的距离之比为2:1,则称此椭圆或双曲线为“倍分曲线”,则下列曲线中是“倍分曲线”的是(      )
A.B.
C.D.

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将曲线上各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变),所得曲线的方程是(   )
A.B.C.D.

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给出下列命题:
,使得;    ②曲线表示双曲线;
的递减区间为 ④,使得其中真命题为       (填上序号)
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