试题分析:(Ⅰ)根据椭圆有两顶点A(﹣1,0)、B(1,0),焦点F(0,1),可知椭圆的焦点在y轴上,b=1,c=1,,可以求得椭圆的方程,联立直线和椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程; (Ⅱ)根据过其焦点F(0,1)的直线l的方程可求出点P的坐标,该直线与椭圆交于C、D两点,和直线AC与直线BD交于点Q,求出直线AC与直线BD的方程,解该方程组即可求得点Q的坐标,代入即可证明结论. (Ⅰ)∵椭圆的焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为(a>b>0), 由已知得b=1,c=1,所以a=, 椭圆的方程为, 当直线l与x轴垂直时与题意不符, 设直线l的方程为y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2), 将直线l的方程代入椭圆的方程化简得(k2+2)x2+2kx﹣1=0, 则x1+x2=﹣,x1•x2=﹣, ∴|CD|== ==, 解得k=. ∴直线l的方程为y=x+1; (Ⅱ)证明:当直线l与x轴垂直时与题意不符, 设直线l的方程为y=kx+1,(k≠0,k≠±1),C(x1,y1),D(x2,y2), ∴P点的坐标为(﹣,0), 由(Ⅰ)知x1+x2=﹣,x1•x2=﹣, 且直线AC的方程为y=,且直线BD的方程为y=, 将两直线联立,消去y得, ∵﹣1<x1,x2<1,∴与异号, = =, y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1==﹣, ∴与y1y2异号,与同号, ∴=,解得x=﹣k, 故Q点坐标为(﹣k,y0), =(﹣,0)•(﹣k,y0)=1, 故为定值. 点评:此题是个难题.本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.体现了分类讨论和数形结合的思想 |