已知动点C到定点的距离比到直线的距离少1，（1）求动点的轨迹的方程；（2）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和， 当变化且时，证明直线恒

题型：不详难度：来源：

已知动点C到定点的距离比到直线的距离少1，
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，
当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

答案

（1）
（2）

解析

解：（1）如图，设为动圆圆心，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，

其中为焦点，为准线，
所以轨迹方程为； ┅┅┅┅3分
（2）如图，设，由题意得
（否则）且所以直线的斜率存在，┅┅┅┅4分
设其方程为，显然，将与联立消去，
得由韦达定理知①┅┅┅┅6分
由，得=,得┅┅┅┅9分
整理化简可得：，
将①式代入上式所以┅11分
此时，直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点┅┅┅┅13分