(本小题满分13分)已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点,点的坐标是.(I)证明,为常数;(II)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程.
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(本小题满分13分)已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点,点的坐标是.(I)证明,为常数;(II)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程.
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分13分)
已知双曲线
的右焦点为
,过点
的动直线与双曲线相交于
两点,点
的坐标是
.
(I)证明
,
为常数;
(II)若动点
满足
(其中
为坐标原点),求点
的轨迹方程.
答案
(I)
为常数
(II)点
的轨迹方程是
解析
解:由条件知
,设
,
.
(I)当
与
轴垂直时,可设点
的坐标分别为
,
,
此时
.
当
不与
轴垂直时,设直线
的方程是
.
代入
,有
.
则
是上述方程的两个实根,所以
,
,
于是
.
综上所述,
为常数
.
(II)解法一:设
,则
,
,
,
,由
得:
即
于是
的中点坐标为
.
当
不与
轴垂直时,
,即
.
又因为
两点在双曲线上,所以
,
,两式相减得
,即
.
将
代入上式,化简得
.
当
与
轴垂直时,
,求得
,也满足上述方程.
所以点
的轨迹方程是
.
解法二:同解法一得
……………………………………①
当
不与
轴垂直时,由(I) 有
.…………………②
.………………………③
由①②③得
.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
当
时,
,由④⑤得,
,将其代入⑤有
.整理得
.
当
时,点
的坐标为
,满足上述方程.
当
与
轴垂直时,
,求得
,也满足上述方程.
故点
的轨迹方程是
.
举一反三
(本小题满分12分)
设动点
P
到点
A
(-l,0)和
B
(1,0)的距离分别为
d
1
和
d
2
,
∠
APB
=2
θ
,且存在常数λ(0<λ<1=,使得
d
1
d
2
sin
2
θ
=λ.
(1)证明:动点
P
的轨迹
C
为双曲线,并求出
C
的方程;
(2)过点
B
作直线交双曲线
C
的右支于
M
、
N
两
点,试确定λ的范围,使
·
=0,其中点
O为坐标原点.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)如图,曲线
G
的方程为
y
2
=20(
y
≥0).以原点为圆心,以
t
(
t
>0)为半径的圆分别与曲线
G
和
y
轴的正半轴相交于点
A
与点
B
.直线
AB
与
x
轴相交于点
C
.
(Ⅰ)求点
A
的横坐标
a
与点
C
的横坐标
c
的关系式;
(Ⅱ)设曲线
G
上点
D
的横坐标为
a
+2,求证:直线
CD
的斜率为定值.
题型:不详
难度:
|
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.以
=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(12分)在区间[0,1]上给定曲线
,试在此区间内确定t的值,使图中的阴影部分面积s
1
与s
2
之和最小.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知定点
,动点
满足:
.
(I)求动点
的轨迹的方程;
(II)过点
的直线
与轨迹
交于两点
,试问在
轴上是否存在定点
,使得
为常数.若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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