已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.（I）求点G的轨迹C的方程；（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存

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已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.

答案

（Ⅰ）点G的轨迹方程是
（Ⅱ）存在直线使得四边形OASB的对角线相等

解析

（1）Q为PN的中点且GQ⊥PN
GQ为PN的中垂线|PG|="|GN|                                                    "
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是 
（2）因为，所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形
若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由
矛盾，故l的斜率存在.    
设l的方程为

  ①

  ② 
把①、②代入
∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.