在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线()相交于两点.(I)若点是点关于坐标原点的对称点,求面积的最小值;(II)是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截

在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线()相交于两点.(I)若点是点关于坐标原点的对称点,求面积的最小值;(II)是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线)相交于两点.
(I)若点是点关于坐标原点的对称点,求面积的最小值;
(II)是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析

(Ⅰ)依题意,点的坐标为,可设
直线的方程为,与联立得消去
由韦达定理得
于是


时,
(Ⅱ)假设满足条件的直线存在,其方程为
的中点为为直径的圆相交于点的中点为
点的坐标为





,得,此时为定值,故满足条件的直线存在,其方程为
即抛物线的通径所在的直线.

解法2:(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得


又由点到直线的距离公式得
从而
时,
(Ⅱ)假设满足条件的直线存在,其方程为,则以为直径的圆的方程为
将直线方程代入得

设直线与以为直径的圆的交点为
则有
,得,此时为定值,故满足条件的直线存在,其方程为
即抛物线的通径所在的直线.
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件:△ABC的周长为2+2.记动点C的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)经过点(0, )且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点PQ
k的取值范围;
(Ⅲ)已知点M,0),N(0, 1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
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(本小题满分12分)过点M(1,1)作直线与抛物线交于A、B两点,该抛物线在A、B两点处的两条切线交于点P。  (I)求点P的轨迹方程;  (II)求△ABP的面积的最小值。
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已知椭圆:上的两点A(0,)和点B,若以AB为边作正△ABC,当B变动时,计算△ABC的最大面积及其条件.

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设椭圆方程为,过原点且倾斜角为的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点.(1)用表示四边形ABCD的面积S;(2)当时,求S的最大值.
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已知过点A(0,1),且方向向量为,相交于M、N两点.
(1)求实数的取值范围;      
(2)求证:
(3)若O为坐标原点,且.
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