(本小题满分12分)一束光线从点出发,经直线l:上一点反射后,恰好穿过点.(1)求点的坐标;(2)求以、为焦点且过点的椭圆的方程; (3)设点是椭圆上除长轴两端
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(本小题满分12分)一束光线从点出发,经直线l:上一点反射后,恰好穿过点.(1)求点的坐标;(2)求以、为焦点且过点的椭圆的方程; (3)设点是椭圆上除长轴两端
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)一束光线从点
出发,经直线
l
:
上一点
反射后,恰好穿过点
.(1)求
点的坐标;(2)求以
、
为焦点且过点
的椭圆
的方程; (3)设点
是椭圆
上除长轴两端点外的任意一点,试问在
轴上是否存在两定点
、
,使得直线
、
的斜率之积为定值?若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点
、
的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
解析
(1)设
关于
l
的对称点为
,则
且
,
解得
,
,即
,故直线
的方程为
.
由
,解得
. ------------------------3分
(2)因为
,根据椭圆定义,得
,所以
.又
,所以
.
所以椭圆
的方程为
. --------------------7分
(3)假设存在两定点为
,使得对于椭圆上任意一点
(除长轴两端点)都有
(
为定值),即
·
,将
代入并整理得
…(*).由题意,(*)式对任意
恒成立,所以
,解之得
或
.
所以有且只有两定点
,使得
为定值
. ----------12分
举一反三
已知椭圆
,
得
且
的公共弦
过椭圆
的右焦点。
⑴当
轴时,求
的值,并判断抛物线
的焦点是否在直线
上;
⑵若
,且抛物线
的焦点在直线
上,求
的值及直线AB的方程。
题型:不详
难度:
|
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在同一坐标系中,方程
a
2
x
2
+
b
2
y
2
=1与
ax
+
by
2
=0(
a
>
b
>0)的曲线大致是 ( )
题型:不详
难度:
|
查看答案
若中心在原点,焦点在坐标上的椭圆短轴端点是双曲线
y
2
-
x
2
=1的顶点,且该椭圆的离心率与此双曲线的离心率的乘积为1,则该椭圆的方程为 ( )
A.
+
y
2
="1"
B.
+
x
2
="1"
C.
+
y
2
="1"
D.
+
x
2
=1
题型:不详
难度:
|
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已知点
,直线
:
,
为平面上的动点,过点
作直线
的垂线,垂足为
,且
.
(1)求动点
的轨迹
的方程;
(2)已知圆
过定点
,圆心
在轨迹
上运动,且圆
与
轴交于
、
两点,设
,
,求
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知动点
到定点
的距离与点
到定直线
:
的距离之比为
.
(1)求动点
的轨迹
的方程;
(2)设
、
是直线
上的两个点,点
与点
关于原点
对称,若
,求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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