(12分)设直线与椭圆相切。 (I)试将用表示出来; (Ⅱ)若经过动点可以向椭圆引两条互相垂直的切线,为坐标原点,求证:为定值。
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(12分)设直线与椭圆相切。 (I)试将用表示出来; (Ⅱ)若经过动点可以向椭圆引两条互相垂直的切线,为坐标原点,求证:为定值。
题型:不详
难度:
来源:
(12分)设直线
与椭圆
相切。 (I)试将
用
表示出来; (Ⅱ)若经过动点
可以向椭圆引两条互相垂直的切线,
为坐标原点,求证:
为定值。
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
(I)将
代入
得
,整理得
由
得
,故
(Ⅱ)当两条切线的斜率都存在而且不等于
时,设其中一条的斜率为k,
则另外一条的斜率为
于是由上述结论可知椭圆斜率为k的切线方程为
① 又椭圆斜率为
的切线方程为
② 由①得
由②得
两式相加得
于是,所求P点坐标
满足
因此,
当一条切线的斜率不存在时,另一条切线的斜率必为0,此时显然也有
所以
为定值。
举一反三
(本小题满分12分)已知双曲线
,焦点F
2
到渐近线的距离为
,两条准线之间的距离为1。 (I)求此双曲线的方程; (II)过双曲线焦点F
1
的直线与双曲线的两支分别相交于A、B两点,过焦点F
2
且与AB平行的直线与双曲线分别相交于C、D两点,若A、B、C、D这四点依次构成平行四边形ABCD,且
,求直线AB的方程。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)已知定点
和直线
,过定点F与直线
相切的动圆圆心为点C。(1)求动点C的轨迹方程; (2)过点F在直线
l
2
交轨迹于两点P、Q,交直线
l
1
于点R,求
的最小值。
题型:不详
难度:
|
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如图所示,下列三图中的多边形均为正多边形,M、N是所在边的中点,双曲线均以图中的F
1
,F
2
为焦点,设图中的双曲线的离心率分别为e
1
,e
2
,e
3
,则 ( )
A.e
1
>e
2
>e
3
B.e
1
<e
2
<e
3
C.e
1
=e
3
<e
2
D.e
1
=e
3
>e
2
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)一束光线从点
出发,经直线
l
:
上一点
反射后,恰好穿过点
.(1)求
点的坐标;(2)求以
、
为焦点且过点
的椭圆
的方程; (3)设点
是椭圆
上除长轴两端点外的任意一点,试问在
轴上是否存在两定点
、
,使得直线
、
的斜率之积为定值?若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点
、
的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
,
得
且
的公共弦
过椭圆
的右焦点。
⑴当
轴时,求
的值,并判断抛物线
的焦点是否在直线
上;
⑵若
,且抛物线
的焦点在直线
上,求
的值及直线AB的方程。
题型:不详
难度:
|
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