如图,抛物线的顶点在坐标原点,且开口向右,点A,B,C在抛物线上,△ABC的重心F为抛物线的焦点,直线AB的方程为。(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)设点M为某定点,
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如图,抛物线的顶点在坐标原点,且开口向右,点A,B,C在抛物线上,△ABC的重心F为抛物线的焦点,直线AB的方程为。(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)设点M为某定点,
题型:不详
难度:
来源:
如图,抛物线的顶点在坐标原点,且开口向右,点
A
,
B
,
C
在抛物线上,△
ABC
的重心
F
为抛物线的焦点,直线
AB
的方程为
。
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设点
M
为某定点,过点
M
的动直线
l
与抛物线相交于
P
,
Q
两点,试推断是否存在定点
M
,使得以线段
PQ
为直径的圆经过坐标原点?若存在,求点
M
的坐标;若不存在,说明理由。
答案
(Ⅰ)
y
2
=16
x
(Ⅱ)
解析
(Ⅰ)设抛物线方程为
,
联立
消去
x
,得
。 (2分)
设点
,则
,
所以
。 (4分)
设点
,因为△
ABC
的重心为
,则
,所以
。 (5分)
因为点
C
在抛物线上,则
,解得
p
=8,此时
。
故抛物线方程为
y
2
=16
x
。 (6分)
(Ⅱ)设过定点
M
的动直线
l
的方程为
,代入抛物线方程
y
2
=16
x
,得
,所以
。 (8分)
若以线段
PQ
为直径的圆经过坐标原点,则
,即
。
所以
,即
,所以
.
因为
,所以
。 (10分)
所以直线
l
的方程为
,即
,从而直线
l
必经过定点
。(11分)
若直线
l
的斜率不存在,因为直线
与抛物线的交点为
,此时仍有
。故存在定点
满足条件。 (13分)
举一反三
已知两定点
A
、
B
,一动点
P
,如果∠
PAB
和∠
PBA
中的一个是另一个的2倍,求
P
点的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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如果椭圆的两个焦点将长轴三等分,那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的
A.4倍
B.9倍
C.12倍
D.18倍
题型:不详
难度:
|
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椭圆
+
=1上一点
P
到左焦点
F
1
的距离为2,
M
是线段
PF
1
的中点,则
M
到原点
O
的距离等于
A.2
B.4
C.6
D.8
题型:不详
难度:
|
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若抛物线
y
2
=2
Px
(
P
>0)上三点的横坐标成等差数列,那么这三点与焦点
F
的距离的关系是( )
A.成等差数列
B.成等比数列
C.既成等差数列,又成等比数列
D.既不成等差数列,也不成等比数列
题型:不详
难度:
|
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若动圆与圆(
x
-2)
2
+
y
2
=1外切,又与直线
x
+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是
( )
A.
y
2
=8
x
B.
y
2
=-8
x
C.
y
2
=4
x
D.
y
2
=-4
x
题型:不详
难度:
|
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