已知直线过坐标原点,抛物线的顶点在原点,焦点在轴正半轴上,若点和点关于的对称点都在上,求直线和抛物线的方程.
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已知直线过坐标原点,抛物线的顶点在原点,焦点在轴正半轴上,若点和点关于的对称点都在上,求直线和抛物线的方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知直线
过坐标原点,抛物线
的顶点在原点,焦点在
轴正半轴上,若点
和点
关于
的对称点都在
上,求直线
和抛物线
的方程.
答案
直线方程为
,抛物线方程为
解析
依题意设抛物线
的方程可写为
,且
轴和
轴不是所求直线.
又
过原点,因而可设
的方程为
①
设
分别是
关于
的对称点,因而
,
直线
的方程为
②
由①,②联立解得
与
的交点
的坐标为
.
又
为
的中点,从而点
的坐标为
③
同理得点
的坐标为
④
又
均为抛物线
上,由③得
,
由此知
,即
⑤
同理由④得
,即
,
从而
,整理得
.
解得
.
但当
时,由③知
.
这与
在抛物线
上矛盾,故舍去
.
设
,则直线
的方程为
.
将
代入⑤,求得
.
所以直线方程为
,抛物线方程为
.
举一反三
已知抛物线
的焦点为
,以
为圆心,
长为半径,在
轴上方的半圆交抛物线于不同的两点
,
,
是
的中点.
⑴求
的值;
⑵是否存在这样的
值,使
,
,
成等差数列?
题型:不详
难度:
|
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已知
是过点
的两条互相垂直的直线,且
与双曲线
各两个交点,分别为
和
.
(1)求
的斜率
的取值范围; (2)若
,求
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
的顶点在原点,焦点在
轴上,斜率为
的直线交
于
两点,若
,且以
为直径的圆经过原点
,求直线
和抛物线
的方程.
题型:不详
难度:
|
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抛物线
上有一点
,以
为一个顶点,作抛物线的内接
,使得
的重心是抛物线的焦点,求
所在直线的方程.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线
的准线与
轴的交点为
,过点
作直线
交抛物线于
两点.
求线段
中点的轨迹方程;
题型:不详
难度:
|
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