(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A
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(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)设椭圆
C
1
的方程为
(
a
>
b
>0),曲线
C
2
的方程为
y
=
,且曲线
C
1
与
C
2
在第一象限内只有一个公共点
P
。(1)试用
a
表示点
P
的坐标;(2)设
A
、
B
是椭圆
C
1
的两个焦点,当
a
变化时,求△
ABP
的面积函数
S
(
a
)的值域;(3)记min{
y
1
,
y
2
,……,
y
n
}为
y
1
,
y
2
,……,
y
n
中最小的一个。设
g
(
a
)是以椭圆
C
1
的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数
f
(
a
)=min{
g
(
a
),
S
(
a
)}的表达式。
答案
(Ⅰ) (
). (Ⅱ)
S
(
a
)的值域为(0,
) (Ⅲ)
S
(
a
)}
解析
(1)将
y
=
代入椭圆方程,得
化简,得
b
2
x
4
–
a
2
b
2
x
2
+
a
2
=0
由条件,有Δ=
a
4
b
4
–4
a
2
b
2
=0,得
ab
=2解得
x
=
或
x
=–
(舍去)
故
P
的坐标为(
).
(2)∵在△
ABP
中,|
AB
|=2
,高为
,∴
∵
a
>
b
>0,
b
=
∴
a
>
,即
a
>
,得0<
<1
于是0<
S
(
a
)<
,故△
ABP
的面积函数
S
(
a
)的值域为(0,
)
(3)
g
(
a
)=c
2
=
a
2
–
b
2
=
a
2
–
解不等式
g
(
a
)≥
S
(
a
),即
a
2
–
≥
整理,得
a
8
–10
a
4
+24≥0,即(
a
4
–4)(
a
4
–6)≥0
解得
a
≤
(舍去)或
a
≥
.故
f
(
a
)=min{
g
(
a
),
S
(
a
)}
举一反三
给定椭圆方程
,求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
:
,直线
交
于
两点,
是线段
的中点,过
作
轴的垂线交
于点
.(1)证明:抛物线
在点
处的切线与
平行;(2)是否存在实数
使NA
NB,若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
-3
y
2
=3的右焦点为
F
,右准线为
l
,以
F
为左焦点,以
l
为左准线的椭圆
C
的中心为
A
,又
A
点关于直线
y
=2
x
的对称点
A
’恰好在双曲线的左准线上,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知
H
(-3,0),点
P
在
y
轴上,点
Q
在
x
轴的正半轴上,点
M
在直线
PQ
上,且满足
⑴当点
P
在
y
轴上移动时,求点
M
的轨迹
C
;
⑵过点
T
(-1,0)作直线
l
与轨迹
C
交于
A
、
B
两点,若在
x
轴上存在一点
E
(
x
0
,0),使得
△
ABE
是等边三角形,求
x
0
的值.
题型:不详
难度:
|
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设
x
,
y
∈R,i,j为直角坐标平面内
x
,
y
轴正方向上的单位向量,若向量
,
b
=
xi
+(
y
-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8.
(1)求点
M
(
x
,
y
)的轨迹
C
的方程;
(2)过点(0,3)作直线
l
与曲线
C
交于
A
、
B
两点,设
是否存在这样的直线
l
,使得四边形
OAPB
为矩形?若存在,求出直线
l
的方程;若不存在,试说明理由.
题型:不详
难度:
|
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