（备用题）如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的点M(1，32)到它的两焦点F1、F2的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点．（Ⅰ）求此

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（备用题）如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的点M(1，32)到它的两焦点F1、F2的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点．（Ⅰ）求此

题型：不详难度：来源：
（备用题）如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的点M(1，
3
2
)到它的两焦点F1、F2的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点．
（Ⅰ）求此椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程．
答案
（I）由题意，∵椭圆上的点M到它的两焦点F1、F2的距离之和为4，
∴2a=4，∴a=2
∴方程为
x2
4
+
y2
b2
=1
将M（1，
3
2
）代入得
1
4
+
(
3
2
)2
b2
=1，∴b2=3，∴c2=1
∴椭圆方程为：
x2
4
+
y2
3
=1，e=
c
a
=
1
2
；
（II）∵kAB=


3
2
，∴设l的方程为：y=


3
2
x+m
由





y=


3
2
x+m
x2
4
+
y2
3
=1
，∴3x2+2


3
mx+2m2-6=0
∴△=12（6-m2）＞0，∴0≤m2＜6
设
P(x1，y1)，Q(x2，y2)
，则x1+x2=-
2


3
m
3
，x1x2=
2m2-6
3

∴|PQ|=


1+k2
•


(x1+x2)2-4x1x2
=


1+
3
4
•


4m2
3
-4•
2m2-6
3
=


42-7m2
3

∵0≤m2＜6，∴m2=0，即m=0时，|PQ|max=


14
，此时l的方程为y=


3
2
x
举一反三
已知点B（6，0）和点C（-6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，
（1）如果k1•k2=-
4
9
，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的焦点坐标；
（2）如果k1•k2=
4
9
，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的离心率；
（3）如果k1•k2=k（k≠0，k≠-1），根据（1）和（2），你能得到什么结论？（不需要证明所得结论）
题型：不详难度：| 查看答案
已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-


3
，0)，右顶点为D（2，0），设点A（1，
1
2
）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．
题型：不详难度：| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，


2
2
），且离心率为


2
2
，过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求
.
BM
•
.
BN
的取值范围．
题型：不详难度：| 查看答案
若点（3，1）是抛物线y2=2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=______．
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已知定点A（2，0），它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为______．
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