如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=

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如图，椭圆C：

=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

答案

（Ⅰ）由题设a=2，c=1，从而b²=a²-c²=3，
所以椭圆C前方程为

=1．
（Ⅱ）（i）由题意得F（1，0），N（4，0）．
设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），

=1．①
AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）-（m-4）y=0．
设M（x₀，y₀），则有n（x₀-1）-（m-1）y₀=0，②
n（x₀-4）+（m-4）y₀=0，③
由②，③得
x₀=

5m-8

2m-5

，y0=

2m-5

由于

(5m-8)2

4(2m-5)2

3n2

(2m-5)2

(5m-8)2

4(2m-5)2

3n2

(2m-5)2

(5m-8)2+12n2

4(2m-5)2

(5m-8)2+36-9m2

4(2m-5)2

=1
所以点M恒在椭圆G上．
（ⅱ）设AM的方程为x=ty+1，
代入

=1，得（3t²+4）y²+6ty-9=0．
设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），则有y1+y2=-

3x2+4

，y1y2=-

3t2+4

．
|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

•

3t2+3

3t2+4

，
令3t²+4=λ（λ≥4），则|y₁-y₂|=

3•

λ-1

)2+

)3+

，
∵λ≥4，0＜

≤

，∴当

，即λ=4，t=0时，|y₁-y₂|有最大值3，此时AM过点F，△AMN的面积S△AMN=|FN||y1-y2|=

|y1-y2|有最大值

．

举一反三

如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k₁，直线AB的斜率为k₂．证明：

为定值．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）过点（2，0），且离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（

，0）且斜率为

的直线l与椭圆C交于A，B两点，求证：

•

=0．

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如图，已知椭圆E₁方程为

=1(a＞b＞0)，圆E₂方程为x²+y²=a²，过椭圆的左顶点A作斜率为k₁直线l₁与椭圆E₁和圆E₂分别相交于B、C．
（Ⅰ）若k₁=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E₁的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E₁的离心率e=

，F₂为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF₂|=2a时，求k₁的值；
（Ⅲ）设D为圆E₂上不同于A的一点，直线AD的斜率为k₂，当

时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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设抛物线y²=2px（p为常数）的准线与X轴交于点K，过K的直线l与抛物线交于A、B两点，则

•

=______．

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如图所示的曲线C是由部分抛物线C1：y=x2-1（|x|≥1）和曲线C₂：x2+

=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直线l与曲线C₁相切于点M，与曲线C₂相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）当t=

时，求m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求出此时直线l的方程．

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