如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．（Ⅰ）求y

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如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k₁，直线AB的斜率为k₂．证明：

为定值．

答案

（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2．
将其代入y²=4x，消去x，整理得y²-4my-8=0．
从而y₁y₂=-8．
（Ⅱ）证明：设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．
则

y3-y4

x3-x4

x1-x2

y1-y2

y3-y4

y32

y42

y12

y22

y1-y2

y1+y2

y3+y4

．
设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y²=4x，消去x，
整理得y²-4ny-4=0．
所以y₁y₃=-4．
同理可得y₂y₄=-4．
故

y1+y2

y3+y4

y1+y2

-4

y1y2

-4

．
由（Ⅰ）得

=2，为定值．

举一反三

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）过点（2，0），且离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（

，0）且斜率为

的直线l与椭圆C交于A，B两点，求证：

•

=0．

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如图，已知椭圆E₁方程为

=1(a＞b＞0)，圆E₂方程为x²+y²=a²，过椭圆的左顶点A作斜率为k₁直线l₁与椭圆E₁和圆E₂分别相交于B、C．
（Ⅰ）若k₁=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E₁的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E₁的离心率e=

，F₂为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF₂|=2a时，求k₁的值；
（Ⅲ）设D为圆E₂上不同于A的一点，直线AD的斜率为k₂，当

时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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设抛物线y²=2px（p为常数）的准线与X轴交于点K，过K的直线l与抛物线交于A、B两点，则

•

=______．

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如图所示的曲线C是由部分抛物线C1：y=x2-1（|x|≥1）和曲线C₂：x2+

=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直线l与曲线C₁相切于点M，与曲线C₂相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）当t=

时，求m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求出此时直线l的方程．

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设双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=4，一条渐近线的倾斜角为60°．
（I）求双曲线C的方程和离心率；
（Ⅱ）若点P在双曲线C的右支上，且△PF₁F₂的周长为16，求点P的坐标．

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