如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.(Ⅰ)求y
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如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.(Ⅰ)求y
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知抛物线y
2
=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(Ⅰ)求y
1
y
2
的值;
(Ⅱ)记直线MN的斜率为k
1
,直线AB的斜率为k
2
.证明:
k
1
k
2
为定值.
答案
(Ⅰ)依题意,设直线AB的方程为x=my+2.
将其代入y
2
=4x,消去x,整理得y
2
-4my-8=0.
从而y
1
y
2
=-8.
(Ⅱ)证明:设M(x
3
,y
3
),N(x
4
,y
4
).
则
k
1
k
2
=
y
3
-
y
4
x
3
-
x
4
×
x
1
-
x
2
y
1
-
y
2
=
y
3
-
y
4
y
3
2
4
-
y
4
2
4
×
y
1
2
4
-
y
2
2
4
y
1
-
y
2
=
y
1
+
y
2
y
3
+
y
4
.
设直线AM的方程为x=ny+1,将其代入y
2
=4x,消去x,
整理得y
2
-4ny-4=0.
所以y
1
y
3
=-4.
同理可得y
2
y
4
=-4.
故
k
1
k
2
=
y
1
+
y
2
y
3
+
y
4
=
y
1
+
y
2
-4
y
1
+
-4
y
2
=
y
1
y
2
-4
.
由(Ⅰ)得
k
1
k
2
=2,为定值.
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)过点(2,0),且离心率为
3
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点N(
2
,0)且斜率为
6
3
的直线l与椭圆C交于A,B两点,求证:
OA
•
OB
=0.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆E
1
方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,圆E
2
方程为x
2
+y
2
=a
2
,过椭圆的左顶点A作斜率为k
1
直线l
1
与椭圆E
1
和圆E
2
分别相交于B、C.
(Ⅰ)若k
1
=1时,B恰好为线段AC的中点,试求椭圆E
1
的离心率e;
(Ⅱ)若椭圆E
1
的离心率e=
1
2
,F
2
为椭圆的右焦点,当|BA|+|BF
2
|=2a时,求k
1
的值;
(Ⅲ)设D为圆E
2
上不同于A的一点,直线AD的斜率为k
2
,当
k
1
k
2
=
b
2
a
2
时,试问直线BD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线y
2
=2px(p为常数)的准线与X轴交于点K,过K的直线l与抛物线交于A、B两点,则
OA
•
OB
=______.
题型:不详
难度:
|
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如图所示的曲线C是由部分抛物线C
1
:y=
x
2
-1
(|x|≥1)和曲线C
2
:
x
2
+
y
2
m
=1
(y≤0,m>0)“合成”的,直线l与曲线C
1
相切于点M,与曲线C
2
相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1),其中A(-1,0),B(1,0).
(1)当t=
2
时,求m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求出此时直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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设双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,且|F
1
F
2
|=4,一条渐近线的倾斜角为60°.
(I)求双曲线C的方程和离心率;
(Ⅱ)若点P在双曲线C的右支上,且△PF
1
F
2
的周长为16,求点P的坐标.
题型:不详
难度:
|
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