已知双曲线C的渐近线为y=±3x且过点M（1，2）．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，

题型：不详难度：来源：

已知双曲线C的渐近线为y=±

x且过点M（1，

）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值．

答案

（1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，可设方程为

=1，
则

，解得

a2=

b2=1

，
∴双曲线C的方程为3x²-y²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=ax+1

3x2-y2=1

，化为（3-a²）x²-2ax-2=0，（3-a²≠0）．
∵直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，∴△=4a²+8（3-a²）＞0，化为a²＜6．
∴x1+x2=

3-a2

，x1x2=

-2

3-a2

．（*）

∵

⊥

，∴

•

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴（1+a²）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0，
把（*）代入上式得

-2(1+a2)

3-a2

2a2

3-a2

+1=0，
化为a²=1．满足△＞0．
∴a=±1．

举一反三

如图，椭圆C：

=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

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如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k₁，直线AB的斜率为k₂．证明：

为定值．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）过点（2，0），且离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（

，0）且斜率为

的直线l与椭圆C交于A，B两点，求证：

•

=0．

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如图，已知椭圆E₁方程为

=1(a＞b＞0)，圆E₂方程为x²+y²=a²，过椭圆的左顶点A作斜率为k₁直线l₁与椭圆E₁和圆E₂分别相交于B、C．
（Ⅰ）若k₁=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E₁的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E₁的离心率e=

，F₂为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF₂|=2a时，求k₁的值；
（Ⅲ）设D为圆E₂上不同于A的一点，直线AD的斜率为k₂，当

时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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设抛物线y²=2px（p为常数）的准线与X轴交于点K，过K的直线l与抛物线交于A、B两点，则

•

=______．

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