已知双曲线C的渐近线为y=±33x且过点M(6,1).(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+m,(m≠0)与双曲线C相交于A,B两点,D(0,-1)
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已知双曲线C的渐近线为y=±33x且过点M(6,1).(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+m,(m≠0)与双曲线C相交于A,B两点,D(0,-1)
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线C的渐近线为y=±
3
3
x且过点M(
6
,1).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m,(m≠0)与双曲线C相交于A,B两点,D(0,-1)且有|AD|=|BD|,试求m的取值范围.
答案
(1)由题意可知:双曲线C的焦点在x轴上,可设此双曲线C的方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0).
则
b
a
=
3
3
6
a
2
-
1
b
2
=1
,解得
a
2
=3
b
2
=1
.
∴双曲线C的方程为
x
2
3
-
y
2
=1
;
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
联立
y=kx+m
x
2
-3
y
2
=3
,化为(1-3k
2
)x
2
-6kmx-3m
2
-3=0,(1-3k
2
≠0)
由题意△>0,化为m
2
+1>3k
2
.(*)
∴
x
1
+
x
2
=
6km
1-3
k
2
,
x
1
x
2
=
-3
m
2
-3
1-3
k
2
.
设线段AB的中点为M(x
0
,y
0
),则
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=
3km
1-3
k
2
,y
0
=kx
0
+m=
3
k
2
m
1-3
k
2
+m
=
m
1-3
k
2
.
∴M
(
3km
1-3
k
2
,
m
1-3
k
2
)
.
k
MD
=
m+1-3
k
2
3km
.
∵|AD|=|BD|,∴k
AB
•k
MD
=-1.
∴
k•
m+1-3
k
2
3km
=-1
,化为4m+1=3k
2
,代入(*)得m
2
+1>4m+1,
解得m>4或m<0.
由3k
2
=4m+1≥0,解得
m≥-
1
4
∴m的取值范围是[-
1
4
,0)∪(4,+∞).
举一反三
已知双曲线C的渐近线为
y=±
3
x
且过点M(1,
2
).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求a的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若AB为垂直于x轴的动弦,直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上;
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线y
2
=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(Ⅰ)求y
1
y
2
的值;
(Ⅱ)记直线MN的斜率为k
1
,直线AB的斜率为k
2
.证明:
k
1
k
2
为定值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)过点(2,0),且离心率为
3
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点N(
2
,0)且斜率为
6
3
的直线l与椭圆C交于A,B两点,求证:
OA
•
OB
=0.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆E
1
方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,圆E
2
方程为x
2
+y
2
=a
2
,过椭圆的左顶点A作斜率为k
1
直线l
1
与椭圆E
1
和圆E
2
分别相交于B、C.
(Ⅰ)若k
1
=1时,B恰好为线段AC的中点,试求椭圆E
1
的离心率e;
(Ⅱ)若椭圆E
1
的离心率e=
1
2
,F
2
为椭圆的右焦点,当|BA|+|BF
2
|=2a时,求k
1
的值;
(Ⅲ)设D为圆E
2
上不同于A的一点,直线AD的斜率为k
2
,当
k
1
k
2
=
b
2
a
2
时,试问直线BD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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