过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（　　）A．相交B．相切C．相离D．与p的取值相关

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过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（　　）

A．相交	B．相切
C．相离	D．与p的取值相关

答案

取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=

（|AP|+|BQ|）=

（|AF|+|BF|）=

|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，
故选B．

举一反三

已知点F（1，0），直线L：x=-1，P为平面上的动点，过点P作直线L的垂线，垂足为Q，且

•

．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有

•

＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x，且过点D(

，

)．l₁，l₂是过点P(-

，0)的两条互相垂直的直线，且l₁，l₂与双曲线各有两个交点，分别为A₁，B₁和A₂，B₂．
（1）求双曲线的方程；
（2）求l₁斜率的范围
（3）若|A1B1|=

|A2B2|，求l₁的方程．

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如图，从椭圆E：

=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=

，
（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D，且

⊥

？若存在，写出该圆的方程，并求|CD|的取值范围；若不存在，说明理由．

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已知抛物线y=x²上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为______．

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如图，A、B分别是椭圆

=1(a＞b＞0)的上、下两顶点，P是双曲线

=1上在第一象限内的一点，直线PA、PB分别交椭圆于C、D点，如果D恰是PB的中点．
（1）求证：无论常数a、b如何，直线CD的斜率恒为定值；
（2）求双曲线的离心率，使CD通过椭圆的上焦点．

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