如图,A、B分别是椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下两顶点,P是双曲线y2a2-x2b2=1上在第一象限内的一点,直线PA、PB分别交椭圆于C、D
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如图,A、B分别是椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下两顶点,P是双曲线y2a2-x2b2=1上在第一象限内的一点,直线PA、PB分别交椭圆于C、D
题型:不详
难度:
来源:
如图,A、B分别是椭圆
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1(a>b>0)
的上、下两顶点,P是双曲线
y
2
a
2
-
x
2
b
2
=1
上在第一象限内的一点,直线PA、PB分别交椭圆于C、D点,如果D恰是PB的中点.
(1)求证:无论常数a、b如何,直线CD的斜率恒为定值;
(2)求双曲线的离心率,使CD通过椭圆的上焦点.
答案
(1)设P点坐标为(x
0
,y
0
),又A、B坐标分别是(0,a)、(0,-a)
而D是PB的中点,∴D点坐标为(
x
0
2
,
y
0
-a
2
),
把D点坐标代入椭圆方程,得:
(
y
0
-a)
2
a
2
+
x
20
b
2
=4
①
又
y
20
a
2
-
x
20
b
2
=1
②
由①②解得,y
0
=2a(y
0
=-a舍去)
x
0
=
3
b
,∴
P
点坐标为
(
3
b,2a)
故
k
PA
=
y
0
-a
x
0
=
a
3
b
,直线PA的方程是
y=
a
3
b
x+a与
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1
联立,解得
C点坐标为
(-
3
b
2
,
a
2
)
,又D点坐标为
(
3
2
b,
a
2
)
∴C、D两点关于y轴对称,故无论a、b如何变化,都有CD
∥
x轴,直线CD的斜率恒为常常0.
(2)当CD过椭圆焦点
(0,
a
2
-
b
2
)
时,
则
a
2
-
b
2
=
a
2
,∴
b=
3
4
a
2
,
双曲线中,
c=
a
2
+
b
2
=
7
2
a
,
∴双曲线的离心率
e=
c
a
=
7
2
.
举一反三
如图,线段AB的两个端点A、B分别分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=5,点M是AB上一点,且|AM|=2,点M随线段AB的运动而变化.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)设F
1
为点M的轨迹的左焦点,F
2
为右焦点,过F
1
的直线交M的轨迹于P,Q两点,求
S
△PQ
F
2
的最大值,并求此时直线PQ的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆mx
2
+ny
2
=1,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=
10
2
,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若动圆过定点A(-3,0)且和定圆(x-3)
2
+y
2
=4外切,则动圆圆心P的轨迹为( )
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.双曲线一支
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C的渐近线为y=±
3
3
x且过点M(
6
,1).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m,(m≠0)与双曲线C相交于A,B两点,D(0,-1)且有|AD|=|BD|,试求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C的渐近线为
y=±
3
x
且过点M(1,
2
).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求a的值.
题型:不详
难度:
|
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