如图,线段AB的两个端点A、B分别分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=5,点M是AB上一点,且|AM|=2,点M随线段AB的运动而变化.(1)求点M的轨迹方程;(
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如图,线段AB的两个端点A、B分别分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=5,点M是AB上一点,且|AM|=2,点M随线段AB的运动而变化.(1)求点M的轨迹方程;(
题型:不详
难度:
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如图,线段AB的两个端点A、B分别分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=5,点M是AB上一点,且|AM|=2,点M随线段AB的运动而变化.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)设F
1
为点M的轨迹的左焦点,F
2
为右焦点,过F
1
的直线交M的轨迹于P,Q两点,求
S
△PQ
F
2
的最大值,并求此时直线PQ的方程.
答案
(1)由题可知AM=
2
5
AB,且可设A(x
0
,0),M(x,y),B(0,y
0
),
则可得
x
0
=
5
3
x,
y
0
=
5
2
y
,
又|AB|=5,即
x
0
2
+
y
0
2
=25
,∴
x
2
9
+
y
2
4
=1
,这就是点M的轨迹方程.
(2)由(1)知F
1
为(
-
5
,0),F
2
为(
5
,0),
由题设PQ为
x=my-
5
,
直线方程代入椭圆方程,可得(4m
2
+9)y
2
-
8
5
my
-16=0,
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
则△>0恒成立,
y
1
+
y
2
=
8
5
m
4
m
2
+9
且
y
1
y
2
=
-16
4
m
2
+9
,
∴
S
△PQ
F
2
=
1
2
|
F
1
F
2
|(|
y
1
|+|
y
2
|)
=
5
|
y
1
-
y
2
|
=
24
5
•
m
2
+1
4
m
2
+9
令t=
m
2
+1
(t≥1),则
S
△PQ
F
1
=
24
5
•
1
4t+
5
t
≤6,
当且仅当
t=
5
2
,即m=
±
1
2
时取“=”
∴
S
△PQ
F
2
的最大值为6,
此时PQ的方程为2x+y-2
5
=0或2x-y-2
5
=0.
举一反三
已知椭圆mx
2
+ny
2
=1,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=
10
2
,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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若动圆过定点A(-3,0)且和定圆(x-3)
2
+y
2
=4外切,则动圆圆心P的轨迹为( )
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.双曲线一支
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C的渐近线为y=±
3
3
x且过点M(
6
,1).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m,(m≠0)与双曲线C相交于A,B两点,D(0,-1)且有|AD|=|BD|,试求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C的渐近线为
y=±
3
x
且过点M(1,
2
).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求a的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若AB为垂直于x轴的动弦,直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上;
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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