已知椭圆mx2+ny2=1,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=102,求椭圆的方程.
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已知椭圆mx2+ny2=1,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=102,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆mx
2
+ny
2
=1,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=
10
2
,求椭圆的方程.
答案
依题意,点P(x
1
,y
1
)、Q(x
2
,y
2
)的坐标满足方程组
m
x
2
+n
y
2
=1
y=x+1
,
化为(m+n)x
2
+2nx+n-1=0,
∴
x
1
+
x
2
=-
2n
m+n
,
x
1
x
2
=
n-1
m+n
由
OQ
⊥
OP
得x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,∴x
1
x
2
+(x
1
+1)(x
2
+1)=0,即2x
1
x
2
+(x
1
+x
2
)+1=0,
∴
2(n-1)
m+n
-
2n
m+n
+1=0
,化为m+n=2.
又由|PQ|=
10
2
,∴
10
2
=
2[(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]
=
2[(
-2n
m+n
)
2
-
4(n-1)
m+n
]
,
把m+n=2代入整理为4n
2
-8n+3=0,解得
n=
3
2
或
1
2
.
当n=
3
2
时,m=
1
2
;当n=
1
2
时,m=
3
2
.
故所求椭圆方程为
x
2
2
+
3
y
2
2
=1
,或
3
x
2
2
+
y
2
2
=1
.
举一反三
若动圆过定点A(-3,0)且和定圆(x-3)
2
+y
2
=4外切,则动圆圆心P的轨迹为( )
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.双曲线一支
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C的渐近线为y=±
3
3
x且过点M(
6
,1).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m,(m≠0)与双曲线C相交于A,B两点,D(0,-1)且有|AD|=|BD|,试求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C的渐近线为
y=±
3
x
且过点M(1,
2
).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求a的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若AB为垂直于x轴的动弦,直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上;
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线y
2
=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(Ⅰ)求y
1
y
2
的值;
(Ⅱ)记直线MN的斜率为k
1
,直线AB的斜率为k
2
.证明:
k
1
k
2
为定值.
题型:不详
难度:
|
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