已知点点分别是轴和轴上的动点,且,动点满足,设动点的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)点Q(1,a),M,N为曲线E上不同的三点,且,过M,N两点分别作曲线

已知点点分别是轴和轴上的动点,且,动点满足,设动点的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)点Q(1,a),M,N为曲线E上不同的三点,且,过M,N两点分别作曲线

题型:不详难度:来源:
已知点分别是轴和轴上的动点,且,动点满足,设动点的轨迹为E.
(1)求曲线E的方程;
(2)点Q(1,a),M,N为曲线E上不同的三点,且,过M,N两点分别作曲线E的切线,记两切线的交点为,求的最小值.
答案
(1);(2).
解析

试题分析:(1)设,利用,用表示的坐标,然后利用,得到的方程,得到点轨迹;
(2)解法一:利用曲线方程,求出点坐标,设,通过联立方程,得到的坐标,利用导数,列出过点的切线方程,解出点的坐标,然后再求的最小值,
解法二:利用导数,列出过点的切线方程,解出点的坐标,然后结合,能够得到关于点所满足的方程,再求出的最小值.
试题解析:(1)解:设
,由     4分
(2)解法一:易知,设
的方程为
联立方程消去,得,所以.
同理,设的方程为.      6分
对函数求导,得
所以抛物线在点处的切线斜率为
所以切线的方程为,即.
同理,抛物线在点处的切线的方程为.     8分
联立两条切线的方程
解得
所以点的坐标为.因此点在直线上. 10分
因为点到直线的距离
所以,当且仅当点时等号成立.
,得,验证知符合题意.
所以当时,有最小值.      12分
解法二:由题意,,设
对函数求导,得
所以抛物线在点处的切线斜率为
所以切线的方程为,即.
同理,抛物线在点处的切线的方程为.
联立两条切线的方程
解得,      8分


所以点在直线上      10分
因为点到直线的距离
所以,当且仅当点时等号成立.
有最小值.      12分
举一反三
已知抛物线的焦点为,点为抛物线上的一点,其纵坐标为.
(1)求抛物线的方程;
(2)设为抛物线上不同于的两点,且,过两点分别作抛物线的切线,记两切线的交点为,求的最小值.
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抛物线的焦点为,点在抛物线上,且,弦中点在准线上的射影为的最大值为(   )
A.B.C.D.

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已知抛物线)的焦点为,准线为为抛物线上一点,,垂足为.如果是边长为的正三角形,则此抛物线的焦点坐标为__________,点的横坐标______.
题型:不详难度:| 查看答案
抛物线上一点的横坐标为,则点与抛物线焦点的距离为________.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知抛物线C的顶点在原点,开口向右,过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2,过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点.

(1)若直线PQ过定点,求点A的坐标;
(2)对于第(1)问的点A,三角形APQ能否为等腰直角三角形?若能,试确定三角形APD的个数;若不能,说明理由.
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