(1)由题意可求点P的坐标为(-c,),由AB∥OP得,
| kOP=kAB⇒-=-⇒b=c,a=c | |F1A|=a+c=(1+)c=+⇒c= |
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∴a=,b=, 椭圆E的方程为+=1; (2)假设存符合题意的圆,切线与椭圆的交点为C(x1,y1),D(x2,y2), 当该圆的切线不垂直x轴时,设其方程为y=kx+m, 由方程组,得x2+2(kx+m)2=10,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-10=0, 则△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-10)=8(10k2-m2+5)>0,即10k2-m2+5>0,, ∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2=, 要使⊥,需使x1x2+y1y2=0,即+=0, ∴3m2-10k2-10=0,∴k2=≥0, 又10k2-m2+5>0,∴, ∴m2≥,即m≥或m≤-, ∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线, ∴圆的半径为r=,r2===, 所求的圆为x2+y2=, 此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-; 而当切线的斜率不存在时,切线为x=±,与椭圆+=1的两个交点为(,±)或(-,±),满足⊥; 综上所述,存在圆心在原点的圆x2+y2=,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C,D,且⊥. ∵, ∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-4×=, ∴|CD|=|x1-x2|===, ①当k≠0时,|CD|=, ∵4k2++4≥8,∴0<≤, ∴<[1+]≤15, ∴<|CD|≤,当且仅当k=±时取”=”. ②当k=0时,易求|CD|=; ③当CD的斜率不存在时,两个交点为(,±)或(-,±),∴此时|CD|=; 综上所述,|CD|的取值范围为≤|CD|≤,即:|CD|∈[,]. |