如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中点,点N是AA1的中点。(1)求证:MN∥平面A1CD; (2)过N,C,

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中点,点N是AA1的中点。(1)求证:MN∥平面A1CD; (2)过N,C,

题型:广东省模拟题难度:来源:
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中点,点N是AA1的中点。
(1)求证:MN∥平面A1CD;
(2)过N,C,D三点的平面把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值。
答案
解:(1)如图,设点P为 AD的中点,连接MP,NP
因为点M是BC的中点,
所以MP∥CD
因为CD平面A1CD,MP平面A1CD,
所以MP∥平面A1CD
因为点N是AA1的中点,
所以NP∥A1D
因为A1D平面A1CD,NP平面A1CD,
所以NP∥平面A1CD
因为MP∩NP=P,MP平面MNP,NP平面MNP,
所以平面MNP∥平面A1CD
因为MN平面MNP,
所以MN∥平面A1CD。(2)如图,取BB1的中点Q,连接ND,NQ,CQ
因为点N是AA1的中点,
所以NQ∥AB
因为AB∥CD,
所以NQ∥CD,
所以过N,C,D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD,另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1
因为
所以直三棱柱QBC-NAD的体积
因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2
所以直四棱柱B1QCC1-A1NDD1的体积
所以
所以所截成的两部分几何体的体积的比值为
举一反三
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、G分别是A1A,D1C,AD的中点。求证:
(1)MN∥平面ABCD;
(2)MN⊥平面B1BG。
题型:0108 模拟题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥中P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,且DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,DB=2
(1)证明:PA∥平面BDE;
(2)证明:AC⊥平面PBD;
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值。
题型:0108 模拟题难度:| 查看答案
如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4,E、F分别是棱CC1、AB中点,
(1)求证:CF⊥BB1
(2)求四棱锥A-ECBB1的体积;
(3)判断直线CF和平面AEB1的位置关系,并加以证明。
题型:0107 模拟题难度:| 查看答案
如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形, (1)求证:DM∥平面APC;
(2)求证:平面ABC⊥平面APC。
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,D为BC中点,
(1)求证:A1B∥平面ADC1
(2)求证:C1A⊥B1C.
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
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