如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形, (1)求证:DM∥平面APC;(2)求证:平面ABC⊥

如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形, (1)求证:DM∥平面APC;(2)求证:平面ABC⊥

题型:陕西省模拟题难度:来源:
如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形, (1)求证:DM∥平面APC;
(2)求证:平面ABC⊥平面APC。
答案
证明:(1)∵M为AB中点,D为PB中点,
∴MD∥AP,
又∵平面APC,
∴DM∥平面APC。
(2)为正三角形,且D为PB中点,
∴MD⊥PB,
又由(1)知MD∥AP,
∴AP⊥PB,
又已知AP⊥PC,
∴AP⊥面PBC,
∴AP⊥BC,
∵AC⊥BC,
∴BC⊥平面APC,
∴平面ABC⊥平面PAC.
举一反三
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,D为BC中点,
(1)求证:A1B∥平面ADC1
(2)求证:C1A⊥B1C.
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点,
求证:(1)AE∥平面PBC;
(2)PD⊥平面ACE。
题型:湖南省模拟题难度:| 查看答案
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点,
(1)求证:PA∥平面EFG;
(2)求三棱锥P-EFC的体积.
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后,连接BD,得到如图所示的几何体,已知点O、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点。
(1)求证:AB∥平面EOF;
(2)求二面角E-OF-B的大小。
题型:四川省模拟题难度:| 查看答案
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F为A1D的中点,
(1)求证:A1B∥平面AFC;
(2)求证:平面A1B1CD⊥平面AFC.
题型:模拟题难度:| 查看答案
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