如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点，求证：(1)AE∥平面PBC；(2)PD⊥平面ACE

题型：湖南省模拟题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点，
求证：(1)AE∥平面PBC；
(2)PD⊥平面ACE。

答案

(1)如图，取PC中点F，连接EF，BF，
∵E为PD的中点，
∴EF∥DC且EF=DC，
∵AB∥DC且AB=DC，
∴EF∥AB 且EF=AB，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE∥BF，
∵AE平面PBC，BF平面PBC，
∴AE∥平面PBC。

(2)∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B，
∴AC⊥平面PBD，
∵PD平面PBD，
∴AC⊥PD，
∵AP=AD，E为PD的中点，
∴PD⊥AE，
∵AE∩AC=A，
∴PD⊥平面ACE。