如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点,求证:(1)AE∥平面PBC;(2)PD⊥平面ACE

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点,求证:(1)AE∥平面PBC;(2)PD⊥平面ACE

题型:湖南省模拟题难度:来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点,
求证:(1)AE∥平面PBC;
(2)PD⊥平面ACE。
答案

(1)如图,取PC中点F,连接EF,BF,
∵E为PD的中点,
∴EF∥DC且EF=DC,
∵AB∥DC且AB=DC,
∴EF∥AB 且EF=AB,
∴四边形ABFE为平行四边形,
∴AE∥BF,
∵AE平面PBC,BF平面PBC,
∴AE∥平面PBC。

(2)∵PB⊥AC,BD⊥AC,PB∩BD=B,
∴AC⊥平面PBD,
∵PD平面PBD,
∴AC⊥PD,
∵AP=AD,E为PD的中点,
∴PD⊥AE,
∵AE∩AC=A,
∴PD⊥平面ACE。
举一反三
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点,
(1)求证:PA∥平面EFG;
(2)求三棱锥P-EFC的体积.
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后,连接BD,得到如图所示的几何体,已知点O、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点。
(1)求证:AB∥平面EOF;
(2)求二面角E-OF-B的大小。
题型:四川省模拟题难度:| 查看答案
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F为A1D的中点,
(1)求证:A1B∥平面AFC;
(2)求证:平面A1B1CD⊥平面AFC.
题型:模拟题难度:| 查看答案
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动,
(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)求证:无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;
(3)当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°。
题型:同步题难度:| 查看答案
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE<CF,∠BCF=,AD=,EF=2。
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)设=λ,当λ取何值时,二面角A-EF-C的大小为
题型:同步题难度:| 查看答案
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