如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动,(1)点E为BC的中点时,试判
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动,(1)点E为BC的中点时,试判
题型:同步题
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=
,点F是PB的中点,点E在边BC上移动,
(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)求证:无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;
(3)当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°。
答案
(1)解:当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行,
∵在△PBC中,E、F分别为BC、PB的中点,
∴EF∥PC,
又EF
平面PAC,而PC
平面PAC,
∴EF∥平面PAC。
(2)证明:建立如右图所示空间直角坐标系,
则P(0,0,1),B(0,1,0),F(0,
,
),D(
,0,0),
设BE=x,则E(x,1,0),
,
∴PE⊥AF。
(3)设平面PDE的法向量为
m
=(p,q,1),
由
,得
,
而
=(0,0,1),依题意PA与平面PDE所成角为45°,
所以sin45°=
,
∴
,
得BE=x=
-
或BE=x=
+
>
(舍).
故BE=
-
时,PA与平面PDE所成角为45°。
举一反三
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE<CF,∠BCF=
,AD=
,EF=2。
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)设
=λ,当λ取何值时,二面角A-EF-C的大小为
。
题型:同步题
难度:
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设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题错误的是
[ ]
A.若a⊥α,b∥α,则a⊥b
B.若a⊥α,b∥α,b
β,则α⊥β
C.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥b
D.若a∥α,a∥β,则α∥β
题型:专项题
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设l,m,n为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是
①若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m
②若m
α,n
α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α
④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n
[ ]
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:专项题
难度:
|
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如图所示,已知a∥α,B,C,D∈α,A与a在平面α的异侧,直线AB,AC,AD分别交α于E,F,G三点,若BC=5,AD=7,DG=4,则EF的长为( )。
题型:专项题
难度:
|
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给出下列命题:
①若直线a∥直线b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内;
②直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的直线有且只有一条;
③a∥α,b、c
α,a∥b,b⊥c,则有a⊥c;
④过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行;
其中错误的个数是
[ ]
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:同步题
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