(1)不妨设lAB:y=kx+1(k>0),lBC:y=-x+1. 由,得(1+a2k2)x2+2ka2x=0,…① ∴|AB|=|xA-xB|=•. 同理可得:|BC|=•=•. 由|AB|=|BC|得,k3-a2k2+a2k-1=0, 即(k-1)[k2+(1-a2)k+1]=0,解得k=1或k2+(1-a2)k+1=0. 对于k2+(1-a2)k+1=0, 由(1-a2)2-4=0,得a=,此时方程的根k=1; 当1<a<时,方程k2+(1-a2)k+1=0无实根; 当a>时,方程k2+(1-a2)k+1=0有两个不等实数根. ∴当a>时,这样的三角形有3个;当1<a≤时这样的三角形有1个; (2)由a=2,可得椭圆的方程为+y2=1. 直线AC与x轴垂直时不符合题意. ①直线AC的斜率为0时,线段AC的垂直平分线为y轴,此时线段AC的垂直平分线在x轴上的截距为0. ②设直线AC的方程为my=x+t.(m≠0),A(x1,y1),C(x2,y2). 联立,化为(4+m2)y2-2mty+t2-4=0. ∵直线AC与椭圆有两个交点,∴△=4m2t2-4(4+m2)(t2-4)>0,化为4+m2>t2.(*) ∴y1+y2=,y1y2=.(**) 设线段AC的中点M(x0,y0),则y0==,x0=my0-t=. ∴M(,). ∵AB⊥BC, ∴•=(x1,y1-1)•(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1) =(my1-t)(my2-t)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2-(mt+1)(y1+y2)+t2+1=0. 把(**)代入上式可得:-+t2+1=0, 化为 5t2-2mt-3m2=0,即(5t+3m)(t-m)=0. 解得t=m或t=-. 当t=m时,直线AC化为m(y-1)=x过点(0,1),舍去. 当t=-时,满足(*). 又线段AC的垂直平分线为:y-=-m(x+). 令y=0,得x=, 把t=-代入上式可得x==, 当m>0时,0<x≤. 当m<0时,-≤m<0. 综上可知:线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围是[-,]. |