已知中心在原点的双曲线C的离心率为233,一条准线方程为x=32(1)求双曲线C的标准方程(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA
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已知中心在原点的双曲线C的离心率为233,一条准线方程为x=32(1)求双曲线C的标准方程(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA
题型:不详
难度:
来源:
已知中心在原点的双曲线C的离心率为
2
3
3
,一条准线方程为x=
3
2
(1)求双曲线C的标准方程
(2)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且
OA
•
OB
>2
(其中O为原点),求k的取值范围.
答案
(1)∵
c
a
=
2
3
3
,
a
2
c
=
3
2
,
∴a=
3
,c=2,
∴双曲线方程为
x
2
3
-
y
2
=1.(4分)
(2)
y=kx+
2
x
2
3
-
y
2
=1
,
∴(1-3k
2
)x
2
-6
2
kx-9=0,
由直线l与双曲线交于不同的两点得
1-3
k
2
≠0
△=
(6
2
k)
2
+36(1-3
k
2
)
=36(1-k
2
)=0,
即k
2
≠
1
3
,且k
2
<1①(6分)
x
1
+x
2
=
6
2
k
1-3
k
2
,
x
1
x
2
=
-9
1-3
k
2
,
由
OA
•
OB
>2,得x
1
x
2
+y
1
y
2
>2,
而
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
x
1
x
2
+(k
x
1
+
2
)(k
x
2
+
2)
=(k
2
+1)x
1
x
2
+
2
k(
x
1
+
x
2
)+2
=
3
k
2
+7
3
k
2
-1
.(8分)
于是
3
k
2
+7
3
k
2
-1
>2,即
3
k
2
-9
3
k
2
-1
<0
,
∴
1
3
<
k
2
<3,②(10分)
由①②得
1
3
<
k
2
<1,
k∈(-1,-
3
3
)∪(
3
3
,1)
.
举一反三
椭圆的中心在原点,其左焦点F
1
与抛物线y
2
=-4x的焦点重合,过F
1
的直线l与椭圆交于A,B两点,与抛物线交于C,D两点.当直线l与x轴垂直时,
|CD|
|AB|
=2
2
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求过点O,F
1
,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;
(Ⅲ)求
F
2
A
•
F
2
B
的最值.
题型:不详
难度:
|
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设双曲线方程
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(b>a>0)
的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为
3
4
c
.
(1)求双曲线的离心率;
(2)经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m被双曲线截得的弦长为15,求双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,
|AB|=2,|AC|=
3
2
,点A,B关于y轴对称.一曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知点
S(0,-
3
),T(0,
3
)
,求∠SPT的最小值;
(3)若点
F(1,
3
2
)
是曲线E上的一点,设M,N是曲线E上不同的两点,直线FM和FN的倾斜角互补,试判断直线MN的斜率是否为定值,如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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若直线y=kx+1与曲线
x=
1-4
y
2
有两个不同的交点,则k的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点为F
1
(-1,0),离心率为
2
2
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G的横坐标的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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