设双曲线方程x2a2-y2b2=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为34c.(1)求双曲线的离心率;(2)
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设双曲线方程x2a2-y2b2=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为34c.(1)求双曲线的离心率;(2)
题型:不详
难度:
来源:
设双曲线方程
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(b>a>0)
的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为
3
4
c
.
(1)求双曲线的离心率;
(2)经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m被双曲线截得的弦长为15,求双曲线的方程.
答案
(1)
b>a⇒
b
2
>
a
2
⇒
c
2
-
a
2
>
a
2
⇒
c
2
>2
a
2
⇒
e
2
>2⇒e>
2
…(2分)
直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1
,即bx+ay-ab=0,由原点到直线l的距离为
3
4
c
得
d=
ab
a
2
+
b
2
=
ab
c
=
3
4
c
,即16a
2
(c
2
-a
2
)=3c
4
,…(4分)
两边同时除以a
4
得16(e
2
-1)=3e
4
,整理得3e
4
-16e
2
+16=0,解得
e
2
=
4
3
或4
…(5分)
又
e>
2
,故双曲线的离心率为e=2…(6分)
(2)由(1)知道e=2即c=2a,所以设双曲线的方程为
x
2
a
2
-
y
2
3
a
2
=1
又由题意得直线m方程为y=2(x-2a),代入双曲线方程得…(7分)
3x
2
-4(x-2a)
2
=3a
2
,整理得x
2
-16ax+19a
2
=0…(8分)
记直线m与双曲线的交点为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则有x
1
+x
2
=16a,x
1
x
2
=19a
2
…(9分)∴
|AB|=
1+
k
2
|
x
1
-
x
2
|=
(1+
k
2
)[
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]
=
5(256
a
2
-76
a
2
)
=30a=15
∴
a=
1
2
…(11分)
∴所求双曲线方程为
x
2
1
4
-
y
2
3
4
=1
…(12分)
举一反三
如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,
|AB|=2,|AC|=
3
2
,点A,B关于y轴对称.一曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知点
S(0,-
3
),T(0,
3
)
,求∠SPT的最小值;
(3)若点
F(1,
3
2
)
是曲线E上的一点,设M,N是曲线E上不同的两点,直线FM和FN的倾斜角互补,试判断直线MN的斜率是否为定值,如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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若直线y=kx+1与曲线
x=
1-4
y
2
有两个不同的交点,则k的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点为F
1
(-1,0),离心率为
2
2
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G的横坐标的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图,⊙O:x
2
+y
2
=16,A(-2,0),B(2,0)为两定点,l是⊙O的一条动切线,若过A,B两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是( )
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
题型:不详
难度:
|
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如图,F
1
,F
2
是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上的焦点,P为椭圆上的点,PF
1
⊥OX轴,且OP和椭圆的一条长轴顶点A和短轴顶点B的连线AB平行.
(1)求椭圆的离心率e
(2)若Q是椭圆上任意一点,证明∠F
1
QF
2
≤
π
2
(3)过F
1
与OP垂直的直线交椭圆于M,N,若△MF
2
N的面积为
20
3
,求椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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