设椭圆方程为:+=1(a>b>0), 由e==及a2=b2+c2得a2=3b2, 故椭圆方程为x2+3y2=3b2① (1)∵直线L:y=k(x+1)交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 并且=λ(λ≥2) ∴(x1+1,y1)=λ(-1-x2,-y2), 即② 把y=k(x+1)代入椭圆方程, 得:(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0,且△=k2(3b2-1)+b2>0, ∴x1+x2=-③x1x2=④ ∴S△OAB=|x1-x2|=|k||x1-x2|=|k||x2+1| 联立②、③得:x2+1= ∴S△OAB=•(k≠0) (2)S△OAB=•=•≤•(λ≥2) 当且仅当3|k|=即k=±时,S△OAB取得最大值. 此时x1+x2=-1, 又∵x1+1=-λ(x2+1), ∴x1=,x2=,代入④得:3b2= 故此时椭圆的方程为x2+3y2=(λ≥2) (3)由②.③联立得:x1=-1,x2=-1,将x1.x2代入④得:3b2=+1, 由k2=λ-1 得:3b2=+1=[+]+1 易知:当λ≥2时,3b2是λ的减函数, 故当λ=2时,(3b2)max=3. 故当λ=2, k=±1时,椭圆短半轴长取得最大值,此时椭圆方程为x2+3y2=3. |