已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为32,求椭圆的标准方程;(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为32,求椭圆的标准方程;(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为


3
2
,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围;
(3)过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR的一边距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.
答案
(1)由题意可得





2a=4
e=
c
a
=


3
2
a2=b2+c2
,解得a2=4,b2=1,c=


3
.∴椭圆的标准方程为
x2
4
+y2=1

(2)直线l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2).联立





y=kx+2
x2+4y2=4
,化为(1+4k2)x2+16kx+12=0,由△=162k2-48(1+4k2)>0,解得k>


3
2
k<-


3
2
.∴x1+x2=
-16k
1+4k2
x1x2=
12
1+4k2

若∠AOB为锐角,则


OA


OB
>0
,得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0,代入得
12(1+k2)
1+4k2
+
-32k2
1+4k2
+4>0
,化为k2<4,解得-2<k<2.∴直线l的斜率k的取值范围为{x|-2<k<2}∩{x|k<-


3
2
k>


3
2
}={k|-2<k<-


3
2


3
2
<x<2
}.
(3)如图所示,设P(x1,y1),Q(x2,y2),S(-x1,-y1),R(-x2,-y2).
①当直线PS与QR的斜率都存在时,设直线PS:y=kx,则直线QR:y=-
1
k
x

联立





y=kx
b2x2+a2y2=a2b2
,解得
x21
=
a2b2
b2+a2k2
.(*)
联立





y=-
1
k
x
b2x2+a2y2=a2b2
,解得
x22
=
a2b2k2
a2+b2k2
.(**)
直线PR的斜率存在时,则直线PR:y-y1=
y2-y1
x2-x1
(x-x1)
,化为(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0.
∵d=1,∴
|x2y1-x1y2|


(x1-x2)2+(y1-y2)2
=1

代入化为:(k+
1
k
)2
x21
x22
=k2
x21
+
1
k2
x22
+
x21
+
x22

把(*)(**)代入上式:
(k2+1)2
k2
a4b4k2
(a2+b2k2)(b2+a2k2)
=
a2b2k2
b2+a2k2
+
a2b2
a2+b2k2
+
a2b2
b2+a2k2
+
a2b2k2
a2+b2k2

化为a2b2=a2+b2
1
a2
+
1
b2
=1
为定值.
②当直线PS与QR的斜率有一个不存在时,直线PR的斜率不存在时,经验证上式也成立.
举一反三
已知点P是圆F1(x+


3
)2+y2=16
上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KH⊥x轴,H为垂足,延长HK到点Q使得HK=KQ,连接AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.
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已知直线l:y=3x+2过抛物线y=ax2(a>0)的焦点.
(1)求抛物线方程;
(2)设抛物线的一条切线l1,若l1l,求切点坐标.
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如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0,b≠0),且交抛物线y2=2px(p>0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.
(1)写出直线l的截距式方程;
(2)证明:
1
y1
+
1
y2
=
1
b

(3)当a=2p时,求∠MON的大小.
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椭圆E的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率e=


2
3
,过点C(-1,0)的直线l交椭圆于A、B两点,且满足:


CA


BC
(λ≥2).
(1)若λ为常数,试用直线l的斜率k(k≠0)表示三角形OAB的面积;
(2)若λ为常数,当三角形OAB的面积取得最大值时,求椭圆E的方程;
(3)若λ变化,且λ=k2+1,试问:实数λ和直线l的斜率k(k∈R)分别为何值时,椭圆E的短半轴长取得最大值?并求出此时的椭圆方程.
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如果椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
的弦被点(2,2)平分,那么这条弦所在的直线的方程是(  )
A.x+4y=0B.x+4y-10=0C.x+4y-6=0D.x-4y-10=0
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