已知椭圆C过点P（1，32），两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F1的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨

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已知椭圆C过点P（1，

），两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₁的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．

答案

（1）由题意可知，c=1，a²=b²+1
设椭圆的方程为

=1（a＞b＞0）…即

1+b2

=1
因为点P在椭圆上，所以

1+b2

4b2

=1，解得b²=3，
所以椭圆方程为

=1
（2）设过点F₁的直线方程为：x=my-1
代入

=1，得：

(my-1)2

=1
整理得（3m²+4）y²-6my-9=0y1+y2=

3m2+4

同理可得：x1+x2=

-8

3m2+4

设线段AB的中点为M（x，y），则

x1+x2

-4

3m2+4

y1+y2

3m2+4

整理得：3x²+4y²+3x=0
当y=0时，易知线段AB的中点为原点，满足上述方程．
综上所述，所求的方程为：3x²+4y²+3x=0

举一反三

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足

，

•

=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足

=λ

，求λ的取值范围．

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已知点P（2，1），若抛物线y²=4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是______．

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三角形ABC的两顶点A（-2，0），B（0，-2），第三顶点C在抛物线y=x²+1上，求三角形ABC的重心G的轨迹．

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如图，椭圆C：

=1的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，，|A₁B₁|=

，S_▱A1B1A2B2=2S_▱B1F1B2F2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，且|

|=1，是否存在上述直线l使

•

=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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椭圆C₁：

=1(a＞b＞0)与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点为M．抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F．
（1）若M(2，

)，求C₁和C₂的标准方程；
（II）若b=1，求p关于a的函数表达式p=f（a）．

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