如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满足AM=2AP,NP•AM=0,点N的轨
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如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满足AM=2AP,NP•AM=0,点N的轨
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,已知圆C:(x+1)
2
+y
2
=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满足
AM
=2
AP
,
NP
•
AM
=0
,点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足
FG
=λ
FH
,求λ
的取值范围.
答案
(1)设点N的坐标为(x,y),
∵
AM
=2
AP
,∴点P为AM的中点,
∵
NP
•
AM
=0,∴NP⊥AM,∴NP是线段AM的垂直平分线,∴NM=NA,
又点N在CM上,设圆的半径是 r,则 r=2
2
,
∴NC=r-NM,∴NC+NM=r=2
2
>AC,
∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆,
∴2a=2
2
,c=1,可求得b=1,
∴椭圆
x
2
2
+
y
2
=1
,即曲线E的方程:
x
2
2
+
y
2
=1
.
(2)当斜率不存在时,直线与曲线E有2个交点此时参数的值为
λ=
1
3
,
不妨设FH斜率为k,且将原点移至F,
则直线FH方程为y=kx,椭圆方程变为
x
2
2
+(y-2)
2
=1,
将直线方程代入椭圆得
x
2
2
+(kx-2)
2
=1,整理得(1+2k
2
)x
2
-8kx+6=0,
直线与曲线E有二不同的交点,故△=(-8k)
2
-4•6(1+2k
2
)=16k
2
-24>0,即k
2
>
3
2
,
因为左右对称,可以研究单侧,
当k>0时,λ=
x
1
x
2
=
-b-
b
2
-4ac
-b+
b
2
-4ac
即λ=
8k-
16k
2
-24
8k+
16k
2
-24
=
2-
1-
3
2k
2
2+
1-
3
2k
2
由k
2
>
3
2
,即
0<
3
2
k
2
<1
,即
0<
1-
3
2
k
2
<1
,
令t=
1-
3
2
k
2
∈(0,1),则λ=
2-t
2+t
,t∈(0,1),
由于λ=
2-t
2+t
=
4
2+t
-1
,故函数在t∈(0,1)上是减函数,故
1
3
<λ<1
综上,参数的取值范围是
1
3
≤λ<1
举一反三
已知点P(2,1),若抛物线y
2
=4x的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线方程是______.
题型:不详
难度:
|
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三角形ABC的两顶点A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在抛物线y=x
2
+1上,求三角形ABC的重心G的轨迹.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的顶点为A
1
,A
2
,B
1
,B
2
,焦点为F
1
,F
2
,,|A
1
B
1
|=
7
,S
▱A1B1A2B2
=2S
▱B1F1B2F2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,且
|
OP
|=1
,是否存在上述直线l使
AP
•
PB
=1成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
与抛物线C
2
:x
2
=2py(p>0)的一个交点为M.抛物线C
2
在点M处的切线过椭圆C
1
的右焦点F.
(1)若M
(2,
2
5
5
)
,求C
1
和C
2
的标准方程;
(II)若b=1,求p关于a的函数表达式p=f(a).
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的两条渐近线方程为直线
l
1
:y=-
x
2
和
l
2
:y=
x
2
,焦点在y轴上,实轴长为
2
3
,O为坐标原点.
(1)求双曲线方程;
(2)设P
1
,P
2
分别是直线l
1
和l
2
上的点,点M在双曲线上,且
P
1
M
=2
M
P
2
,求三角形P
1
OP
2
的面积.
题型:不详
难度:
|
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