如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，，|A1B1|=7，S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2（Ⅰ）求椭

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如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，，|A1B1|=7，S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2（Ⅰ）求椭

题型：不详难度：来源：
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，，|A1B1|=


7
，S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，且|


OP
|=1，是否存在上述直线l使


AP
•


PB
=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
答案
（Ⅰ）由|A1B1|=


7
知a2+b2=7，①
由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2 知a=2c，②
又b2=a2-c2③
由①②③解得a2=4，b2=3，
故椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足


AP
•


PB
=1，直线l的方程不存在．
若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且|


OP
|=1得
|m|


1+k2
=1，即m2=k2+1 ④
∵


AP
•


PB
=1，|


OP
|=1，得知OA⊥OB所以x1x2+y1y2=0，
由





x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
x1x2=
4m2-12
3+4k2
，x1+x2=
-8km
3+4k2
，
又y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=
3m2-12k2
3+4k2
，代入x1x2+y1y2=0中得7m2-12k2-12=0．⑤
由④⑤可知无解．所以此时l不存在．
故不存在直线方程使


AP
•


PB
=1成立．
举一反三
椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与抛物线C2：x2=2py（p＞0）的一个交点为M．抛物线C2在点M处的切线过椭圆C1的右焦点F．
（1）若M(2，
2


5
5
)，求C1和C2的标准方程；
（II）若b=1，求p关于a的函数表达式p=f（a）．
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已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1：y=-
x
2
和l2：y=
x
2
，焦点在y轴上，实轴长为2


3
，O为坐标原点．
（1）求双曲线方程；
（2）设P1，P2分别是直线l1和l2上的点，点M在双曲线上，且


P1M
=2


MP2
，求三角形P1OP2的面积．
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已知点A（1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．
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设x，y∈R，


i
，


j
为直角坐标平面内x轴y轴正方向上的单位向量，若


a
=x


i
+（y+2）


j
，


b
=x


i
+（y-2）


j
，且|


a
|+|


b
|=8
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上两点AB，满足（1）直线AB过点（0，3），（2）若


OP
=


OA
+


OB
，则OAPB为矩形，试求AB方程．
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设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过Q点的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
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