如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，，|A1B1|=7，S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2（Ⅰ）求椭

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如图，椭圆C：

=1的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，，|A₁B₁|=

，S_▱A1B1A2B2=2S_▱B1F1B2F2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，且|

|=1，是否存在上述直线l使

•

=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）由|A1B1|=

知a²+b²=7，①
由S_□A1B1A2B2=2S_□B1F1B2F2知a=2c，②
又b²=a²-c²③
由①②③解得a²=4，b²=3，
故椭圆C的方程为

=1．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）
若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足

•

=1，直线l的方程不存在．
若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且|

|=1得

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1 ④
∵

•

=1，|

|=1，得知OA⊥OB所以x₁x_2⁺y₁y₂=0，
由

y=kx+m

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
x1x2=

4m2-12

3+4k2

，x1+x2=

-8km

3+4k2

，
又y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

3m2-12k2

3+4k2

，代入x₁x_2⁺y₁y₂=0中得7m²-12k²-12=0．⑤
由④⑤可知无解．所以此时l不存在．
故不存在直线方程使

•

=1成立．

举一反三

椭圆C₁：

=1(a＞b＞0)与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点为M．抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F．
（1）若M(2，

)，求C₁和C₂的标准方程；
（II）若b=1，求p关于a的函数表达式p=f（a）．

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已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1：y=-

和l2：y=

，焦点在y轴上，实轴长为2

，O为坐标原点．
（1）求双曲线方程；
（2）设P₁，P₂分别是直线l₁和l₂上的点，点M在双曲线上，且

P1M

MP2

，求三角形P₁OP₂的面积．

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已知点A（1，1）是椭圆

=1（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

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设x，y∈R，

，

为直角坐标平面内x轴y轴正方向上的单位向量，若

+（y+2）

，

+（y-2）

，且|

|+|

|=8
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上两点AB，满足（1）直线AB过点（0，3），（2）若

，则OAPB为矩形，试求AB方程．

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设抛物线y²=8x的准线与x轴交于点Q，若过Q点的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．

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