已知点A(1,1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.(I)求椭圆的标准方程;(II)
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已知点A(1,1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.(I)求椭圆的标准方程;(II)
题型:不详
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来源:
已知点A(1,1)是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上一点,F
1
,F
2
是椭圆的两焦点,且满足|AF
1
|+|AF
2
|=4.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)求过A(1,1)与椭圆相切的直线方程;
(III)设点C、D是椭圆上两点,直线AC、AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值?若是定值,求出定值;若不是定值,说明理由.
答案
(I)由椭圆定义知:2a=4,∴a=2,∴
x
2
4
+
y
2
b
2
=1
把(1,1)代入得
1
4
+
1
b
2
=1
,∴
b
2
=
4
3
,∴椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
4
3
=1
(II)过A(1,1)点与椭圆相切的切线方程为:
x×1
4
+
y×1
4
3
=1
即:x+3y-4=0
(III)设AC方程为:y=k(x-1)+1与椭圆方程联立,消去y得(1+3k
2
)x
2
-6k(k-1)x+3k
2
-6k-1=0
∵点A(1,1)在椭圆上,方程有一个根为x
A
=1,∴
x
C
=
3
k
2
-6k-1
3
k
2
+1
∵直线AC、AD倾斜角互补,∴AD的方程为y=-k(x-1)+1
同理
x
D
=
3
k
2
+6k-1
3
k
2
+1
,又
y
C
=k(x
C
-1)+1,y
D
=-k(x
D
-1)+1,
y
C
-y
D
=k(x
C
+x
D
)-2K
∴
k
CD
=
1
3
,即直线CD的斜率为定值
1
3
举一反三
设x,y∈R,
i
,
j
为直角坐标平面内x轴y轴正方向上的单位向量,若
a
=x
i
+(y+2)
j
,
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8
(Ⅰ)求动点M(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设曲线C上两点AB,满足(1)直线AB过点(0,3),(2)若
OP
=
OA
+
OB
,则OAPB为矩形,试求AB方程.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线y
2
=8x的准线与x轴交于点Q,若过Q点的直线l与抛物线有公共点,求直线l的斜率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知斜率为1的直线l过椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的右焦点F
2
.
(1)求直线l的方程;
(2)若l与椭圆交于点A、B两点,F
1
为椭圆左焦点,求
S
△
F
1
AB
.
题型:不详
难度:
|
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双曲线
C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的两条准线间距离为3,右焦点到直线x+y-1=0的距离为
2
2
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)双曲线C中是否存在以点
P(1,
1
2
)
为中点的弦,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知A(-3,0),B(3,0).若△ABC周长为16.
(1)求点C轨迹L的方程;
(2)过O作直线OM、ON,分别交轨迹L于M、N点,且OM⊥ON,求S
△MON
的最小值;
(3)在(2)的前提下过O作OP⊥MN交于P点.求证点P在定圆上,并求该圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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