双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条准线间距离为3,右焦点到直线x+y-1=0的距离为22.(1)求双曲线C的方程;(2)双曲线C中是否存在
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双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条准线间距离为3,右焦点到直线x+y-1=0的距离为22.(1)求双曲线C的方程;(2)双曲线C中是否存在
题型:不详
难度:
来源:
双曲线
C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的两条准线间距离为3,右焦点到直线x+y-1=0的距离为
2
2
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)双曲线C中是否存在以点
P(1,
1
2
)
为中点的弦,并说明理由.
答案
(1)由已知设右焦点(c,0),则c
2
=a
2
+b
2
由已知:
2•
a
2
c
=3
d=
|c-1
2
=
2
2
∴
a=
3
b=1c=2
∴双曲线C的方程为:
x
2
3
-
y
2
=1
(2)假设存在以P为中点的弦AB.设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
则:
x
21
3
-
y
21
=1
x
22
3
-
y
22
=1
∴
x
21
-
x
22
3
-(
y
21
-
y
22
)=0
∴
k
AB
=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=
(
x
1
+
x
2
)
3(
y
1
+
y
2
)
∵P为中点
∴x
1
+x
2
=2,y
1
+y
2
=1
∴
k
AB
=
2
3
∴此时直线AB:
y-
1
2
=
2
3
(x-1)
即
y=
2
3
x-
1
6
联立AB与双曲线方程有:
y=
2
3
x-
1
6
x
2
3
-
y
2
=1
代简得:4x
2
-8x+37=0
∵△=8
2
-4×4×37<0
∴无解.
故不存在以P为中点的弦.
举一反三
已知A(-3,0),B(3,0).若△ABC周长为16.
(1)求点C轨迹L的方程;
(2)过O作直线OM、ON,分别交轨迹L于M、N点,且OM⊥ON,求S
△MON
的最小值;
(3)在(2)的前提下过O作OP⊥MN交于P点.求证点P在定圆上,并求该圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)以F
1
、F
2
为左、右焦点,离心率e=
1
2
,一个短轴的端点(0,
3
);抛物线C
2
:y
2
=4mx(m>0),焦点为F
2
,椭圆C
1
与抛物线C
2
的一个交点为P.
(1)求椭圆C
1
与抛物线C
2
的方程;
(2)直线l经过椭圆C
1
的右焦点F
2
与抛物线C
2
交于A
1
,A
2
两点,如果弦长|A
1
A
2
|等于△PF
1
F
2
的周长,求直线l的斜率.
题型:不详
难度:
|
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双曲线E的渐近线方程为
y=±
4
3
x
,且经过点
(2
3
,
4
3
3
)
(1)求双曲线E的方程;
(2)F
1
,F
2
为双曲线E的两个焦点,P为双曲线上一点,若|PF
1
|•|PF
2
|=32,求∠F
1
PF
2
的大小.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,过右焦点F且斜率为
2
的直线l交椭圆E于两点A,B,若以原点为圆心,
6
3
为半径的圆与直线l相切
(1)求焦点F的坐标;
(2)以OA,OB为邻边的平行四边形OACB中,顶点C也在椭圆E上,求椭圆E的方程.
题型:不详
难度:
|
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过点(0,1)引直线与双曲线x
2
-y
2
=1只有一个公共点,这样的直线共有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
题型:不详
难度:
|
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