已知抛物线的顶点在原点,焦点F与双曲线x2-y24=1的右顶点重合.(1)求抛物线的方程;(2)若直线l经过焦点F,且倾斜角为60°,与抛物线交于A、B两点,求

已知抛物线的顶点在原点,焦点F与双曲线x2-y24=1的右顶点重合.(1)求抛物线的方程;(2)若直线l经过焦点F,且倾斜角为60°,与抛物线交于A、B两点,求

题型:不详难度:来源:
已知抛物线的顶点在原点,焦点F与双曲线x2-
y2
4
=1
的右顶点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线l经过焦点F,且倾斜角为60°,与抛物线交于A、B两点,求:弦长|AB|.
答案
(1)双曲线x2-
y2
4
=1
的右顶点为(1,0),
∵抛物线的焦点F与双曲线x2-
y2
4
=1
的右顶点重合,
∴F(1,0).
设抛物线的方程为:y2=2px(p>0)
p
2
=1,∴p=2,
∴抛物线方程是 y2=4x;
(2)直线l方程为y=


3
(x-1),代入方程y2=4x,得3(x-1)2=4x,化简得3x2-10x+3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=
10
3

于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=
16
3
举一反三
如图,梯形ABCD的底边AB在y轴上,原点O为AB的中点,|AB|=
4


2
3
,|CD|=2-
4


2
3
,AC⊥BD.M为CD的中点.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)过M作AB的垂线,垂足为N,若存在正常数λ0,使


MP
0


PN
,且P点到A、B的距离和为定值,求点P的轨迹E的方程;
(Ⅲ)过(0,
1
2
)的直线与轨迹E交于P、Q两点,求△OPQ面积的最大值.
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已知直线y=k(x+2)与双曲线
x2
m
-
y2
8
=1,有如下信息:联立方程组:





y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论:
(1)当A=0时,该方程恒有一解;
(2)当A≠0时,△=B2-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是(  )
A.(1,


3
]
B.[


3
,+∞)
C.(1,2]D.[2,+∞)
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已知F1,F2是椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为______.
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已知点P(-1,
3
2
)
是椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A、B是椭圆E上两个动点,是否存在λ,满足


PA
+


PB


PO
(0<λ<4,且λ≠2),且M(2,1)到AB的距离为


5
?若存在,求λ值;若不存在,说明理由.
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双曲线与椭圆
x2
27
+
y2
36
=1
有相同焦点,且经过点(


15
,4)
,则双曲线的方程为(  )
A.
x2
4
-
y2
5
=1
B.
y2
5
-
x2
4
=1
C.
y2
4
-
x2
5
=1
D.
x2
5
-
y2
4
=1
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