已知点P(-1,32)是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.(1)求椭圆E的方程

已知点P(-1,32)是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.(1)求椭圆E的方程

题型:不详难度:来源:
已知点P(-1,
3
2
)
是椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A、B是椭圆E上两个动点,是否存在λ,满足


PA
+


PB


PO
(0<λ<4,且λ≠2),且M(2,1)到AB的距离为


5
?若存在,求λ值;若不存在,说明理由.
答案
(1)∵PF1⊥x轴,
∴F1(-1,0),c=1,F2(1,0),
|PF2|=


22+(
3
2
)2
=
5
2
,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3,
椭圆E的方程为:
x2
4
+
y2
3
=1
;(4分)
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由


PA
+


PB


PO

(x1+1,y1-
3
2
)+(x2+1,y2-
3
2
)=λ(1,-
3
2
),
所以x1+x2=λ-2,y1+y2=
3
2
(2-λ)①(5分)
又3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,
两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0②
以①式代入可得AB的斜率k=
y1-y2
x1-x2
=
1
2
(8分)
设直线AB的方程为y=
1
2
x+t,
与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2-3=0,
△=3(4-t2)>0,t∈(-2,2),x1+x2=-t=λ-2
点M到直线AB的距离为d=
2|t|


5
=


5
,∴t=±
5
2
∉(-2,2)
(10分)
t=2-λ∴λ=
9
4
-
1
2
不合题意.故这样的λ不存在(12分)
举一反三
双曲线与椭圆
x2
27
+
y2
36
=1
有相同焦点,且经过点(


15
,4)
,则双曲线的方程为(  )
A.
x2
4
-
y2
5
=1
B.
y2
5
-
x2
4
=1
C.
y2
4
-
x2
5
=1
D.
x2
5
-
y2
4
=1
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已知抛物线C:y2=12x,点M(-1,0),过M的直线l交抛物线C于A,B两点.
(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标等于2,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设点A关于x轴的对称点为A′,求证:直线A′B过定点.
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F1(-1,0),F2(1,0),动点M满足|MF1|+|MF2|=2


2

(1)求M的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=


7
7
(x-1)
与曲线C交于A、B两点,求


F1A


F1B
的值.
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矩形ABCD的中心在坐标原点,边AB与x轴平行,AB=8,BC=6.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,S,T是线段OF的四等分点,R′,S′,T′是线段CF的四等分点.设直线ER与GR′,ES与GS′,ET与GT′的交点依次为L,M,N.
(1)求以HF为长轴,以EG为短轴的椭圆Q的方程;
(2)根据条件可判定点L,M,N都在(1)中的椭圆Q上,请以点L为例,给出证明(即证明点L在椭圆Q上).
(3)设线段OF的n(n∈N+,n≥2)等分点从左向右依次为Ri(i=1,2,…,n-1),线段CF的n等分点从上向下依次为Ti(i=1,2,…,n-1),那么直线ERi(i=1,2,…,n-1)与哪条直线的交点一定在椭圆Q上?(写出结果即可,此问不要求证明)
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
经过点A(2,1),离心率为


2
2
.过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求


BM


BN
的取值范围;
(Ⅲ)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN,求证:kAM+kAN为定值.
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