(Ⅰ)依题意有|A1B2|==∴a2+b2=7…(1分) 又由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2.有2a•b=2•2c•b,∴a=2c…(2分) 解得a2=4,b2=3,…(3分), 故椭圆C的方程为+=1.…(4分) (Ⅱ)当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y=k(x-1)+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 则+=1,+=1, 两式相减得:k==-×. ∵Q是MN的中点, ∴可得直线m的斜率为k==-,(7分) 当直线m的斜率不存在时,将x=1代入椭圆方程并解得M(1,),N(1,-), 这时MN的中点为(1,0), ∴x=1不符合题设要求.…(8分) 综上,直线m的方程为3x+4y-7=0…(9分) (Ⅲ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),假设满足题设的直线l存在, (i)当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且||=1得=1,即m2=k2+1,…(10分) 又∵以AB为直径的圆过原点,∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0. 将y=kx+m代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0, 由求根公式可得x1+x2=,④x1x2=.⑤ 0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2, 将④,⑤代入上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,⑥ 将m2=1+k2代入⑥并化简得-5(k2+1)=0,矛盾. 即此时直线l不存在.…(12分) (ii)当l垂直于x轴时,满足||=1的直线l的方程为x=1或x=-1, 由A、B两点的坐标为(1,),(1,-)或(-1,),(-1,-). 当x=1时,•=(1,)•(1,-)=-≠0, 当x=-1时,•=(-1,)•(-1,-)=-≠0. ∴此时直线l也不存在. 综上所述,使•=0成立的直线l不成立,即不存在直线l使以AB为直径的圆过原点. |