过点M（1，1）作一直线与椭圆x29+y24=1相交于A，B两点，若M点恰好为弦AB的中点，则AB所在直线的方程为______．

题型：不详难度：来源：

过点M（1，1）作一直线与椭圆

=1相交于A，B两点，若M点恰好为弦AB的中点，则AB所在直线的方程为______．

答案

由题意，直线AB的斜率存在，设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1，
代入椭圆方程，整理得（9k²+4）x²+18k（1-k）x+9（1-k）²-36=0
设A、B的横坐标分别为x₁、x₂，则

x1+x2

-18k(1-k)

2(9k2+4)

=1，
解之得k=-

故AB所在直线的方程为y=-

(x-1)+1，即为4x+9y-13=0．
故答案为：4x+9y-13=0．

举一反三

已知点P（x₀，y₀）是椭圆C：

+y2=1上的一点．F₁、F₂是椭圆C的左右焦点．
（1）若∠F₁PF₂是钝角，求点P横坐标x₀的取值范围；
（2）求代数式

+2x0的最大值．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-

，求斜率k的值；
②已知点M(-

，0)，求证：

•

为定值．

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在直线l：x-y+9=0上任取一点M，过M作以F₁（-3，0），F₂（3，0）为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程．

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已知F₁，F₂分别为椭圆

a2-1

=1（a＞1）的左、右两个焦点，一条直线l经过点F₁与椭圆交于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
（1）求实数a的值；
（2）若l的倾斜角为

，求|AB|的值．

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如图，椭圆C：

=1（a＞b＞0）的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，|A₁B₂|=

，S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线m过Q（1，1），且与椭圆相交于M，N两点，当Q是MN的中点时，求直线m的方程．
（Ⅲ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A，B的直线，|

|=1，是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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