已知F1，F2分别为椭圆x2a2+y2a2-1=1（a＞1）的左、右两个焦点，一条直线l经过点F1与椭圆交于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（1）求实数a的

题型：不详难度：来源：

已知F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a＞1）的左、右两个焦点，一条直线l经过点F₁与椭圆交于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
（1）求实数a的值；
（2）若l的倾斜角为

π

4

，求|AB|的值．

答案

由椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，…（2分）
又|AF₁|+|BF₁|=|AB|，
所以△ABF₂的周长=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a．…（4分）
又因为△ABF₂的周长为8，所以4a=8，则a=2．…（5分）
（2）由（1）得，椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，F₁（-1，0），…（7分）
因为直线l的倾斜角为

π

4

，所以直线l斜率为1，
故直线l的方程为y=x+1．…（8分）
由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

消去y，得7x²+8x-8=0，…（9分）
（法一：|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

=

24

7

）
法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得，x1=

-4+6 2

7

，x2=

-4-6 2

7

…（10分）
所以y1=

3+6 2

7

，y2=

3-6 2

7

则|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

( 12 2 7 )2+( 12 2 7 )2

=

24

7

…（12分）