已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(1)求椭圆C的方程;(2)已知动直线y

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(1)求椭圆C的方程;(2)已知动直线y

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


6
3
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
5


2
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.
①若线段AB中点的横坐标为-
1
2
,求斜率k的值;
②已知点M(-
7
3
,0)
,求证:


MA


MB
为定值.
答案
(1)因为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
满足a2=b2+c2
c
a
=


6
3
,…(2分)
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
5


2
3
,可得
1
2
×b×2c=
5


2
3

从而可解得a2=5,b2=
5
3

所以椭圆方程为
x2
5
+
y2
5
3
=1
…(4分)
(2)证明:①将y=k(x+1)代入
x2
5
+
y2
5
3
=1
中,消元得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0…(6分)
△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)=48k2+20>0,x1+x2=-
6k2
3k2+1
…(7分)
因为AB中点的横坐标为-
1
2
,所以-
3k2
3k2+1
=-
1
2
,解得k=±


3
3
…(9分)
②由①知x1+x2=-
6k2
3k2+1
x1x2=
3k2-5
3k2+1

所以


MA


MB
=(x1+
7
3
y1)(x2+
7
3
y2)=(x1+
7
3
)(x2+
7
3
)+y1y2
…(11分)
=(x1+
7
3
)(x2+
7
3
)+k2(x1+1)(x2+1)
=(1+k2)x1x2+(
7
3
+k2)(x1+x2)+
49
9
+k2
…(12分)
=(1+k2)
3k2-5
3k2+1
+(
7
3
+k2)(-
6k2
3k2+1
)+
49
9
+k2
=
-3k4-16k2-5
3k2+1
+
49
9
+k2
=
4
9
…(14分)
举一反三
在直线l:x-y+9=0上任取一点M,过M作以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的椭圆,当M在什么位置时,所作椭圆长轴最短?并求此椭圆方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知F1,F2分别为椭圆
x2
a2
+
y2
a2-1
=1(a>1)的左、右两个焦点,一条直线l经过点F1与椭圆交于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
(1)求实数a的值;
(2)若l的倾斜角为
π
4
,求|AB|的值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B2|=


7
S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线m过Q(1,1),且与椭圆相交于M,N两点,当Q是MN的中点时,求直线m的方程.
(Ⅲ)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A,B的直线,|


OP
|=1
,是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
斜率为2的直线l与双曲线
x2
3
-
y2
2
=1
交于A,B两点,且|AB|=4,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
AB是过抛物线x2=y的焦点一条弦,若AB的中点到x轴的距离为1,则弦AB的长度为(  )
A.
5
2
B.
5
4
C.2D.3
题型:不详难度:| 查看答案
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