已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4,-4).(1)求抛物线的方程;(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B,若|AB|=

已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4,-4).(1)求抛物线的方程;(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B,若|AB|=

题型:不详难度:来源:
已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4,-4).
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B,若|AB|=8,求直线l的方程.
答案
(1)由已知可令所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),而点M(4,-4)在抛物线上,则16=8p,所以p=2,故所求抛物线方程为y2=4x;
(2)由(1)知F(1,0).
若直线l垂直于x轴,则A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,与题设不符;
若直线l与x轴不垂直,可令直线l的方程为y=k(x-1),再设A(x1,y1),B(x2,y2),





y=k(x-1)
y2=4x
,消去y可得k2x2-2(k2+2)+k2=0,于是x1+x2=
2(k2+2)
k2
,x1x2=1,
则|AB|=


(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2
=
4(1+k2)
k2
=8,解得k=±1,
从而,所求直线l的方程为y=±(x-1).
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=
1
2
,短轴长为2


3

(1)求椭圆C的方程;
(2)从定点M(0,2)任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B,记线段AB的中点为P,试求点P的轨迹方程.
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已知A、B是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的左、右顶点,椭圆上异于A、B的两点C、D和x轴上一点P,满足


AP
=
1
3


AD
+
2
3


AC

(1)设△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S1、S2、S3、S4,求证:S1S3=S2S4
(2)设P点的横坐标为x0,求x0的取值范围.
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已知离心率为


6
3
的椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
与圆C:x2+(y-3)2=4交于A,B两点,且∠ACB=120°,C在AB上方,如图所示,
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在过交点B,斜率存在且不为0的直线l,使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为


3
2
,长轴长为4


5
,直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)若直线l不经过椭圆上的点M(4,1),求证:直线MA,MB的斜率互为相反数.
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直线L:y=kx+1与椭圆C:ax2+y2=2(a>1)交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点).
(1)若k=1,且四边形OAPB为矩形,求a的值;
(2)若a=2,当k变化时(k∈R),求点P的轨迹方程.
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