(Ⅰ)∵双曲线-=1(a>0,b>0)过点(,),它的离心率为, ∴-=1,且=()2, 解得a2=2,b2=1, ∴双曲线方程是-y2=1, 它的渐近线方程是y=x,y=-x.…(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,不妨设P(x1,),Q(x2,-), 设M(x,y),则有x1+x2=2x,-=2y. ∵|PQ|=2,∴(x1-x2)2+(+)2=8, ∴(2y)2+()2=8, 化简得轨迹C的方程为+y2=1.…(8分) (Ⅲ)由(Ⅱ)得F1(-,0),F2(,0), 根据题意直线l与x轴不能重合, ∴设l的方程为x=ky-,设A(x3,y3),B(x4,y4). 把x=ky-代入+y2=1, 化简并整理得(k2+4)y2-2ky-1=0, ∴y3+y4=,y3y4=-, ∴|y3-y4|== =4, ∴△ABF2面积S=|F1F2|•|y3-y4|=4• ≤4•=2, 当且仅当k2+1=时,即等号成立. ∴当k=时,y3+y4=,y3y4=-, ∴x3+x4=k(y3+y4)-2=-,x3x4=(ky3-)(ky4-)=k2y3y4-k(y3+y4)+3=, ∴•=(x3-,y3)•(x4-,y4)=x3x4-(x3+x4)+3+y3y4=. 同理,当k=-时,•=. 综上所述,•=.…(14分) |